Bài tập về tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài tập về tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng.

1. 

Xét $\mathrm{\Delta }$OMH và $\mathrm{\Delta }$OMK vuông tại H và K có:

IH và IK là hai đoạn thẳng qua đỉnh góc vuông và trung điểm của cạnh huyền OM.

HI là trung tuyến ứng với cạnh huyền OM của $\mathrm{\Delta }$HOM nên HI = $\frac{1}{2}$OM

KI là trung tuyến ứng với cạnh huyền OM của $\mathrm{\Delta }$KOM nên KI = $\frac{1}{2}$OM

Vậy OI = IM = IH = IK ( = $\frac{1}{2}$OM)

+) OI = IH nên I nằm trên đường trung trực của OH

+) OI = IK nên I nằm trên đường trung trực của OK

+) IH = IK nên I nằm trên đường trung trực của HK

+) IH = IM nên I nằm trên đường trung trực của HM

+) IK = IM nên I nằm trên đường trung trực của KM

+) OI = IM nên I nằm trên đường trung trực của OM

2. 

a) Nối MB, ta có M nằm trên đường trung trực của AB (giả thiết)

$\Rightarrow$ MA = MB

Xét $\mathrm{\Delta }$CMB có: MC + MB > BC (bất đẳng thức trong tam giác)

$\Rightarrow$ MC + MA > BC

b) Với ba điểm A, B, C cố định thì đoạn thẳng AB cố định nên đường trung trực của AB cũng cố định.

Điểm M di động trên đường thẳng a thì tổng độ dài của M đến hai mút của BC luôn luôn lớn hơn hoặc bằng BC. Tổng MB + MC nhỏ nhất là bằng độ dài BC.

Vậy M' là giáo điểm của BC với đường thẳng a (C, M', B thẳng hàng) thì ta có:

M'C + M'B = BC hay M'C + M'A = BC

3.

a) Xét $\mathrm{\Delta }$ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC nên AM = $\frac{1}{2}$BC = MB = MC

Ta có MA = MB nên M nằm trên đường trung trực của AB (1)

Xét $\mathrm{\Delta }$AKB vuông tại K có $\widehat{KAB}={45}^{\circ }$ 

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$AKB vuông cân tại K $\Rightarrow$ KA = KB

$\Rightarrow$ K nằm trên đường trung trực của AB (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ đường thẳng KM là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Tương tự ta có MI là đường trung trực của đoạn thẳng AC

b) Ta có : AB $\perp$ AC và IM $\perp$ AC (IM là đường trung trực của AC)

$\Rightarrow$ AB // IM

$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{M_1}$ (2 góc đồng vị)

AB $\perp$ AC và KM $\perp$ AB (IM là đường trung trực của AC)

$\Rightarrow$ AC // KM

$\Rightarrow \widehat{C_2}=\widehat{M_2}$ (2 góc đồng vị)

$\Rightarrow \widehat{B_1}+\widehat{C_2}=\widehat{M_1}+\widehat{M_2}$

Mà $\widehat{B_1}+\widehat{C_2}={90}^{\circ }$ nên $\widehat{M_1}+\widehat{M_2}={90}^{\circ }$

$\Rightarrow \widehat{IKM}={90}^{\circ }$

4. 

a) Xét $\mathrm{\Delta }$BEI và $\mathrm{\Delta }$BPI vuông tại I, có:

BI chung

$\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$BEI = $\mathrm{\Delta }$BPI (cạnh góc vuông - góc nhọn)

$\Rightarrow$ EI = IP

Ta có EI = IP nên I là trung điểm của EP

BO đi qua trung điểm I của EP và BO $\perp$ EP nên BO là đường trung trực của đoạn thẳng eP

Tương tự ta có $\mathrm{\Delta }$CFK = $\mathrm{\Delta }$CPK và suy ra được OC là đường trung trực của đoạn thẳng PF

b) Có:

$\mathrm{\Delta }$BEI = $\mathrm{\Delta }$BPI $\Rightarrow$ BE = BP

$\mathrm{\Delta }$CFK = $\mathrm{\Delta }$CPK $\Rightarrow$ CF = CP

$\Rightarrow$ BE + CF = BP + PC = BC

c) O nằm trên đường trung trực của EP nên OE = OP

   O nằm trên đường trung trực của FP nên OF = OP

$\Rightarrow$ OE = OF

$\Rightarrow$ O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng EF

$\mathrm{\Delta }$ ABC cố định nên O cố định.

Vậy đường trung trực của đoạn thẳng EF đi qua điểm O cố định.