Bài tập về tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài tập về tính chất ba đường phân giác của tam giác.

1. 

Xét $\mathrm{\Delta }$BIH có $\hat{H}={90}^{\circ }$

$\Rightarrow \widehat{BIH}={90}^{\circ }-\widehat{B_2}={90}^{\circ }-\frac{\hat{B}}{2}$ (BI là tia phân giác)    (1)

Xét $\mathrm{\Delta }$AIC có $\widehat{DIC}$ là góc ngoài nên $\widehat{DIC}=\widehat{A_1}+\widehat{C_1}$

Mà $\widehat{A_1}+\widehat{C_1}=\frac{\hat{A}}{2}+\frac{\hat{C}}{2}=\frac{{180}_{\hat{B}}^{\circ }}{2}={90}^{\circ }-\frac{\hat{B}}{2}$    (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{BIH}=\widehat{CID}$

2. 

Có $\widehat{A_1}=\widehat{E_1}$ (EF // AB)

Mà $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

$\Rightarrow \widehat{E_1}=\widehat{A_2}$

$\mathrm{\Delta }$AFE có $\widehat{E_1}=\widehat{A_2}$ $\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$AFE cân tại F

$\Rightarrow$ FA = FE   (1)

Nối PF. Xét $\mathrm{\Delta }$APF và $\mathrm{\Delta }$EFP có:

$\widehat{APF}=\widehat{PFE}$ (AB // EF)

PE chung

$\widehat{PFA}=\widehat{FPE}$ (PE // AC)

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$APF = $\mathrm{\Delta }$EFP (g.c.g)

$\Rightarrow$ AP = EF     (2)

Từ (1) và (2) suy ra AF = AP

3. 

a) $\mathrm{\Delta }$BMC có: $\hat{M}={90}^{\circ };\hat{C}={60}^{\circ }$

$\Rightarrow \widehat{B_1}={30}^{\circ }$

Mà $\hat{B}={60}^{\circ }$

$\Rightarrow \widehat{B_1}=\frac{1}{2}\hat{B}$ nên BF là tia phân giác của góc $\hat{B}$

Tương tự, xét $\mathrm{\Delta }$BNC ta cũng chứng minh được CE là phân giác của $\hat{C}$

Trong $\mathrm{\Delta }$ABC có BM và CN là hai đường phân giác của $\hat{B}$ và $\hat{C}$ cắt nhau tại I. Do đó AI là phân giác của $\hat{A}$

Vậy BF, CE, AI đồng quy.

b) Ta có:

BF $\perp$ AC

PE // AC

$\Rightarrow$ BF $\perp$ PE

Mà BF là tia phân giác của $\hat{B}$ , trong đó $\hat{B}$ và $\widehat{CBm}$ là góc kề bù nhau, vậy BP cũng là tia phân giác của góc $\widehat{CBm}$

Tương tự ta có CP là tia phân gíc của góc $\widehat{BCn}$

$\mathrm{\Delta }$ABC có xy và x'y' là hai đường phân giác của hai góc ngoài $\widehat{CBm}$ và $\widehat{BCn}$. AI là tia phân giác của góc $\hat{A}$ không kề với hai góc đó nên 3 đường AI, xy, x'y' đồng quy.

4. 

a) AI là tia phân giác góc $\hat{A}$ mà xy $\perp$ AI vậy xy là tia phân giác của $\widehat{BA{x}^{\prime }}$ (góc kề bù với $\hat{A}$, tức là góc ngoài của $\mathrm{\Delta }$ABC tại A)

N là giao điểm của đường phân giác góc $\hat{C}$ và góc ngoài tại A. Vậy BN là tia phân giác của $\widehat{AB{y}^{\prime }}$ (góc ngoài tại B). Suy ra BN $\perp$ BM (hai đường phân giác của hai góc kề bù nhau)

Chứng minh tương tự, ta vẽ góc ngoài tại C nên CM $\perp$ CN

b) NB là tia phân giác góc ngoài của $\hat{B}$

CM là tia phân giác góc ngoài của $\hat{C}$

AI là tia phân giác góc trong của $\hat{A}$

Vậy BN, CM và AI đồng quy