Bài tập về tính chất ba đường phân giác của tam giác.
1.
Xét $\Delta $BIH có $\widehat{H}=90^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{BIH}=90^{\circ}-\widehat{B_{2}}=90^{\circ}-\frac{\widehat{B}}{2}$ (BI là tia phân giác) (1)
Xét $\Delta $AIC có $\widehat{DIC}$ là góc ngoài nên $\widehat{DIC}=\widehat{A_{1}}+\widehat{C_{1}}$
Mà $\widehat{A_{1}}+\widehat{C_{1}}=\frac{\widehat{A}}{2}+\frac{\widehat{C}}{2}=\frac{180^{\circ}_\widehat{B}}{2}=90^{\circ}-\frac{\widehat{B}}{2}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{BIH}=\widehat{CID}$
2.
Có $\widehat{A_{1}} = \widehat{E_{1}}$ (EF // AB)
Mà $\widehat{A_{1}} = \widehat{A_{2}}$
$\Rightarrow \widehat{E_{1}} = \widehat{A_{2}}$
$\Delta $AFE có $\widehat{E_{1}} = \widehat{A_{2}}$ $\Rightarrow $ $\Delta $AFE cân tại F
$\Rightarrow $ FA = FE (1)
Nối PF. Xét $\Delta $APF và $\Delta $EFP có:
$\widehat{APF}=\widehat{PFE}$ (AB // EF)
PE chung
$\widehat{PFA}=\widehat{FPE}$ (PE // AC)
$\Rightarrow $ $\Delta $APF = $\Delta $EFP (g.c.g)
$\Rightarrow $ AP = EF (2)
Từ (1) và (2) suy ra AF = AP
3.
a) $\Delta $BMC có: $\widehat{M}=90^{\circ}; \widehat{C}=60^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{B_{1}}=30^{\circ}$
Mà $\widehat{B}=60^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{B_{1}}=\frac{1}{2}\widehat{B}$ nên BF là tia phân giác của góc $\widehat{B}$
Tương tự, xét $\Delta $BNC ta cũng chứng minh được CE là phân giác của $\widehat{C}$
Trong $\Delta $ABC có BM và CN là hai đường phân giác của $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ cắt nhau tại I. Do đó AI là phân giác của $\widehat{A}$
Vậy BF, CE, AI đồng quy.
b) Ta có:
BF $\perp $ AC
PE // AC
$\Rightarrow $ BF $\perp $ PE
Mà BF là tia phân giác của $\widehat{B}$ , trong đó $\widehat{B}$ và $\widehat{CBm}$ là góc kề bù nhau, vậy BP cũng là tia phân giác của góc $\widehat{CBm}$
Tương tự ta có CP là tia phân gíc của góc $\widehat{BCn}$
$\Delta $ABC có xy và x'y' là hai đường phân giác của hai góc ngoài $\widehat{CBm}$ và $\widehat{BCn}$. AI là tia phân giác của góc $\widehat{A}$ không kề với hai góc đó nên 3 đường AI, xy, x'y' đồng quy.
4.
a) AI là tia phân giác góc $\widehat{A}$ mà xy $\perp $ AI vậy xy là tia phân giác của $\widehat{BAx'}$ (góc kề bù với $\widehat{A}$, tức là góc ngoài của $\Delta $ABC tại A)
N là giao điểm của đường phân giác góc $\widehat{C}$ và góc ngoài tại A. Vậy BN là tia phân giác của $\widehat{ABy'}$ (góc ngoài tại B). Suy ra BN $\perp $ BM (hai đường phân giác của hai góc kề bù nhau)
Chứng minh tương tự, ta vẽ góc ngoài tại C nên CM $\perp $ CN
b) NB là tia phân giác góc ngoài của $\widehat{B}$
CM là tia phân giác góc ngoài của $\widehat{C}$
AI là tia phân giác góc trong của $\widehat{A}$
Vậy BN, CM và AI đồng quy