Bài tập về số vô tỉ

Bài tập về số vô tỉ.

4. Giả sử $\sqrt{7}$ là số hữu tỉ. Khi đó $\sqrt{7}$ có thể viết được dưới dạng $\frac{p}{q} (p, q \in Z, (p; q) = 1)$ . Ta có:

$\sqrt{7} = \frac{p}{q} \Rightarrow \frac{p^{2}}{q^{2}} = 7 \Rightarrow p^{2} = 7 q^{2}$

Do đó $p^{2} ⋮ 7$ $\Rightarrow$ $p ⋮ 7$

Đặt p = 7m ( $m \in Z$ ) thì ta có $p^{2} = 49 m^{2} = 7 q^{2}$

$\Rightarrow q^{2} = 7 m^{2}$

Chứng tỏ $q ⋮ 7$

Do đó p và q cùng chia hết cho 7 (trái với giả thuyết)

Do đó $\sqrt{7}$ không phải là số hữu tỉ.

Vậy $\sqrt{7}$ là số vô tỉ.

5. Giả sử tồn tại một số hữu tỉ a và số vô tỉ b sao cho a + b là số hữu tỉ. Ta gọi số hữu tỉ đó là m.

Khi đó a + b = m $\Leftrightarrow$ b = m - a thì b là số hữu tỉ

Trái với giả thiết b là số vô tỉ.

Do đó tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ là một số vô tỉ.

Các số hữu tỉ: 0,121212... ; -1,1011110111...

Các số vô tỉ: $\sqrt{\frac{1}{2}}$ ; $5 + \sqrt{7}$