Bài tập về so sánh hai lũy thừa

Bài tập về so sánh hai lũy thừa.

5. a) $\frac{1}{2^{300}}$ và $\frac{1}{3^{200}}$

Ta có: $2^{300}=2^{3.100}=8^{100};3^{200}=3^{2.100}=9^{100}$

Dễ thấy $9^{100}>8^{100}>0$ nên $3^{200}>2^{300}>0$

Do đó: $\frac{1}{2^{300}}$ > $\frac{1}{3^{200}}$

b) $\frac{1}{5^{199}}$ và $\frac{1}{3^{300}}$

Ta có: $5^{200}=5^{2.100}={25}^{100};3^{300}=3^{3.100}={27}^{100}$

Dễ thấy ${27}^{100}>{25}^{100}>0$ nên $3^{300}>5^{200}>0$

Do đó: $\frac{1}{5^{200}}$ > $\frac{1}{3^{300}}$

Mà $\frac{1}{5^{199}}>\frac{1}{5^{200}}$ nên $\frac{1}{5^{199}}$ > $\frac{1}{3^{300}}$

c) ${\left(\frac{-1}{4}\right)}^8$ và ${\left(\frac{1}{8}\right)}^5$

Ta có: ${\left(\frac{-1}{4}\right)}^8={\left[{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right]}^8={\left(\frac{1}{2}\right)}^{16}$

           ${\left(\frac{1}{8}\right)}^5={\left[{\left(\frac{1}{2}\right)}^3\right]}^5={\left(\frac{1}{2}\right)}^{15}$

Có $0<\frac{1}{2}<1$ nên ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{16}$ < ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{15}$

Hay ${\left(\frac{-1}{4}\right)}^8$ < ${\left(\frac{1}{8}\right)}^5$

d) ${\left(\frac{1}{10}\right)}^{15}$ và ${\left(\frac{3}{10}\right)}^{20}$

Ta có: ${\left(\frac{1}{10}\right)}^{15}$ = ${10}^5.{\left(\frac{1}{10}\right)}^{20}$

           ${\left(\frac{3}{10}\right)}^{20}$ = $3^{20}.{\left(\frac{1}{10}\right)}^{20}$

Mà ${10}^5<3^{20}$ nên ${10}^5.{\left(\frac{1}{10}\right)}^{20}$ < $3^{20}.{\left(\frac{1}{10}\right)}^{20}$

Hay ${\left(\frac{1}{10}\right)}^{15}$ < ${\left(\frac{3}{10}\right)}^{20}$

6. A = $\frac{{100}^{100}+1}{{100}^{99}+1}=\frac{({100}^{100}+1).({100}^{68}+1)}{({100}^{99}+1).({100}^{68}+1)}$ và B = $\frac{({100}^{69}+1).({100}^{99}+1)}{({100}^{68}+1).({100}^{99}+1)}$

Ta so sánh tử số của A và B sau khi quy đồng

Xét hiệu: $({100}^{100}+1).({100}^{68}+1)-({100}^{69}+1).({100}^{99}+1)$

= ${100}^{168}+{100}^{100}+{100}^{68}+1-{100}^{168}-{100}^{99}-{100}^{69}-1$

= ${100}^{100}-{100}^{99}-{100}^{69}+{100}^{68}$

= ${99.100}^{99}-{99.100}^{68}$

= $99.({100}^{99}-{100}^{68})$ > 0

Do đó A > B