Bài tập về quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song.
1.
a) BC // OA $\Rightarrow \widehat{CBy}=\widehat{AOB}$ (hai góc đồng vị)
AC // OB $\Rightarrow \widehat{CBy}=\widehat{ACB}$ (hai góc so le trong)
$\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{xOy}=70^{\circ}$
b) Xét $\Delta $ABC và $\Delta $OBC có:
AC // OB (theo đề bài) $\Rightarrow \widehat{AOB}+\widehat{OAC}=180^{\circ}$ (hai góc trong cùng phía)
BC // OA (theo đề bài) $\Rightarrow \widehat{AOB}+\widehat{OBC}=180^{\circ}$ (hai góc trong cùng phía)
Từ đó suy ra $\widehat{OAC}=\widehat{OBC}$ (1)
- Do OA // BC nên $\widehat{O_{1}}=\widehat{C_{2}}$ (hai góc so le trong) (2)
- Do AC // OB nên $\widehat{O_{2}}=\widehat{C_{1}}$ (hai góc so le trong) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
Các góc của $\Delta $AOC là: $\widehat{OAC}; \widehat{O_{1}}; \widehat{C_{1}}$
Các góc của $\Delta $OBC là: $\widehat{OBC}; \widehat{O_{2}}; \widehat{C_{2}}$
2.
a) Ta có: MN $\perp $ OA, OQ $\perp $ OA vậy MN // OQ (cùng vuông góc với OA)
Mà MQ $\perp $ QO, suy ra MQ $\perp $ MN (hai đường thẳng MN // QO mà MQ $\perp $ QO thì cũng phải vuông góc với đường thứ hai).
Vậy $\widehat{NMQ}=90^{\circ}$
b) MN // OQ $\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{AMN}=50^{\circ}$ (hai góc đồng vị)
Mà $\widehat{AMN}+\widehat{NMQ}+\widehat{QMB}=180^{\circ}$ (ba điểm A, M, B thẳng hàng)
$\Rightarrow 50^{\circ}+90^{\circ}+\widehat{QMB}=180^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{QMB}=40^{\circ}$
3.
a) Từ E kẻ EF // AB, mà CD // AB nên EF // CD (cùng song song với AB)
Do AB // EF nên: $\widehat{EAB}+\widehat{AEF}=180^{\circ}\Rightarrow 140^{\circ}+\widehat{AEF}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{AEF}=40^{\circ}$
Mà $\widehat{AEC}=\widehat{AEF}+\widehat{FEC}\Rightarrow 120^{\circ}=40^{\circ}+\widehat{FEC}$. Do đó $\widehat{FEC}=80^{\circ}$
Do EF // CD nên $\widehat{FEC}+\widehat{ECD}=180^{\circ}\Rightarrow 80^{\circ}+\widehat{ECD}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{ECD}=100^{\circ}$
b) Ta có:
AB // EF nên $\widehat{BAE}+\widehat{AEF}=180^{\circ}$ (hai góc trong cùng phía)
EF // CD nên $\widehat{ECD}+\widehat{CEF}=180^{\circ}$ (hai góc trong cùng phía)
$\Rightarrow \widehat{BAE}+\widehat{ECD}+\widehat{AEF}+\widehat{CEF}=360^{\circ}$
Mà $\widehat{AEF}+\widehat{CEF}=\widehat{AEC} \Rightarrow \widehat{BAE}+\widehat{ECD}+\widehat{AEC}=360^{\circ}$
4. Giả sử a và b không cắt nhau thì chúng trùng nhau hoặc song song với nhau.
a) Nếu chúng trùng nhau thì qua O kẻ được hai đường thẳng OA $\perp $ b và OB $\perp $ b (trái với tiên đề)
b) Nếu chúng song song với nhau
Theo giả thiết OA $\perp $ a mà a // b thì OA $\perp $ b
Theo đề bài ta có: OB $\perp $ b
Vậy qua O kẻ được 2 đường thẳng OA và OB cùng vuông góc với b (trái với tiên đề)
Vậy 2 đường thẳng a và b phải cắt nhau.