Bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử

Bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử.

1. 

a) $3x^2+6x+3-3y^2$

 = $3(x^2+2x+1-y^2)$

 = $3[(x+1{)}^2-y^2]$

 = $3(x-y+1)(x+y+1)$

b) $25-x^2-y^2+2xy$

 = $25-(x^2+y^2-2xy)$

 = $5^2-(x-y{)}^2$

 = $(5+x-y)(5-x+y)$

c) $(1+2x)(1-2x)-x(x+2)(x-2)$

 = $1-4x^2-x^3+4x$

 = $(1-x^3)+(4x-4x^2)$

 = $(1-x)(1+x+x^2)+4x(1-x)$

 = $(1-x)(1+5x+x^2)$

d) $x^2-2x-4y^2-4y$

 = $(x^2-2x+1)-(4y^2+4y+1)$

 = $(x-1{)}^2-(2y+1{)}^2$

 = $(x+2y)(x-2y-2)$

2. 

a) $x^3=x$

  $\iff x^3-x=0$

  $\iff x(x^2-1)=0$

  $\iff x(x-1)(x+1)=0$

  $\iff x=0;x=1$ hoặc $x=-1$

b) $2x^3+2\sqrt{2}{x}^2+x=0$

  $\iff x(2x^2+2\sqrt{2}x+1)=0$

  $\iff x(\sqrt{2}x+1)=0$

  $\iff x=0$ hoặc $x=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

c) $\frac{2}{3}x(x^2-9)=0$

  $\iff \frac{2}{3}x(x-3)(x+3)=0$

  $\iff x=0;x=3$ hoặc $x=-3$

d) $(x+2{)}^2-(x-2)(x+2)=0$

  $\iff (x+2)(x+2-x+2)=0$

  $\iff 4(x+2)=0$

  $\iff x=-2$

3. 

Ta có: 

  $(a+b{)}^2-(a-b{)}^2$

= $(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)$

= $a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2$

= $4ab$ (đpcm)

Áp dụng kết quả trên ta có:

a) Với a-b = 3 và ab = 4 thì $(a+b{)}^2=(a-b{)}^2+4ab$ = $3^2+4.4$ = 25

b) Với a+b = 6 và ab = 8 thì $(a-b{)}^2=(a+b{)}^2-4ab$ = $6^2-8.4$ = 4

4. a) Ta có:

  $a^3+b^3+c^3-3abc$

= $(a+b{)}^3-3a^{2}b-3a{b}^2+c^3-3abc$

= $[(a+b{)}^3-c^3]-(3a^{2}b+3a{b}^2+3abc)$

= $(a+b+c)[(a+b{)}^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)$

= $(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)$

= $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$

   b) Áp dụng ta có:

Đặt x-y = a; y-z = b; z-x = c thì a+b+c = 0. Khi đó $a^3+b^3+c^3-3abc=0$ nên $a^3+b^3+c^3=3abc$

Vậy $(x-y{)}^3+(y-z{)}^3+(z-x{)}^3$ = $3(x-y)(y-z)(z-x)$

5. 

A = $x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)$

  = $x^2(y-z)-y^2[(y-z)+(x-y)]+z^2(x-y)$

  = $(y-z)(x^2-y^2)-(x-y)(y^2-x^2)$

  = $(y-z)(x+y)(x-y)-(x-y)(y+z)(y-z)$

  = $(y-z)(x-y)(x+y-y-z)$

  = $(y-z)(x-y)(x-z)$