Bài tập về đường trung trực của một đoạn thẳng.
1.
a) Ta có: $\widehat{mOx}=\widehat{zOy}$ (theo đề bài)
$\widehat{nOy}=\widehat{xOz}$ (theo đề bài)
Suy ra $\widehat{mOx}+\widehat{nOy} = \widehat{zOy}+\widehat{xOz}$
Mà $\widehat{zOy}+\widehat{xOz}=90^{\circ}$ (theo đề bài)
Vậy $\widehat{mOx}+\widehat{nOy}=90^{\circ}$, do đó:
$\widehat{mOn}=\widehat{mOx}+\widehat{xOz}+\widehat{zOy}+\widehat{yOn}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$
Do đó hai tia Om và On là hai tia đối nhau.
b) Ta có: $\widehat{mOx}+\widehat{xOz}=\widehat{zOy}+\widehat{yOn}$
$\Rightarrow \widehat{mOz}=\widehat{zOn}=\frac{1}{2}\widehat{mOn}=\frac{1}{2}.180^{\circ}=90^{\circ}$
Hay $Oz \perp mn$, mà OM = ON nên Oz là đường trung trực của đoạn MN.
2.
a) $\widehat{AOB}=a^{\circ}>90^{\circ}E nên các tia OM và ON nằm ở miền tron gcủa góc $\widehat{AOB}$. Suy ra:
$\widehat{AOM}+\widehat{MOB}=\widehat{AOB}$
$\Rightarrow \widehat{AOM}=\widehat{AOB}-\widehat{MOB}=a^{\circ}-90^{\circ}$
$ON \perp OA$ nên $\widehat{MON}+\widehat{AOM}=90^{\circ}$ (1)
$OM \perp AB$ nên $\widehat{MON}+\widehat{NOB}=90^{\circ}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{AOM}=\widehat{NOB}=a^{\circ}-90^{\circ}$ (3)
b) Ox là tia phân giác của góc $\widehat{AOM}$ nên:
$\widehat{xOM}=\frac{\widehat{AOM}}{2}\Rightarrow \widehat{xOM} = \frac{a^{\circ}-90^{\circ}}{2}$ (4)
Ta có:
$\widehat{xOy} = \widehat{AOB} -(\widehat{AOx}+\widehat{BOy})$
= $a^{\circ}-\left ( \frac{a^{\circ}-90^{\circ}}{2}+\frac{a^{\circ}-90^{\circ}}{2} \right ) = a^{\circ}-(a^{\circ}-90^{\circ})$
$\Rightarrow Ox \perp Oy$
c) Những cặp góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc là:
$\widehat{AOx}$ và $\widehat{NOy}$ ($OA \perp ON; Ox \perp Oy$)
$\widehat{xOM}$ và $\widehat{yOB}$ ($Ox \perp Oy; OM \perp OB$)
$\widehat{AOM}$ và $\widehat{NOB}$ ($OA \perp ON; OM \perp OB$)