Bài tập về chứng minh và tính toán các yếu tố trong tam giác cân và tam giác đều.
1.
Xét $\Delta $ABC có: $\widehat{A}=36^{\circ}\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ}$
Ta có: $\Delta $ABC cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}=72^{\circ}$
Mà $\widehat{ABE}=\frac{1}{2}\widehat{B}$ (BE là tia phân giác của $\widehat{B}$) nên $\widehat{ABE}=36^{\circ}$
$\Delta $ABE có $\widehat{A}=\widehat{ABE}=36^{\circ}$ nên $\Delta $ABE cân tại E $\Rightarrow $ AE = BE (1)
Xét $\Delta $BEC có: $\widehat{B_{2}}=36^{\circ}$; $\widehat{C}=72^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{BEC}=72^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{BEC}=\widehat{C}=72^{\circ}$
$\Rightarrow \Delta $BEC cân tại B $\Rightarrow $ BE = BC (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ AE = BE = BC
2.
Ta có:
$\widehat{EAC}=\widehat{C_{1}}$ (AE // Cx)
$\widehat{EAC}=\widehat{C_{2}}$ ($\Delta $AEC cân tại E)
$\Rightarrow \widehat{C_{1}}=\widehat{C_{2}}$
Mà $\widehat{C_{2}}=\widehat{B_{1}}$ ($\Delta $ABC cân)
$\Rightarrow \widehat{C_{1}}=\widehat{B_{1}}$ (1)
Mà lại có $\widehat{EBA}+\widehat{B_{1}}=180^{\circ}$ (E, B, C thẳng hàng) (2)
$\widehat{FCA}+\widehat{C_{1}}=180^{\circ}$ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{EBA}=\widehat{FCA}$
Xét $\Delta $BEA và $\Delta $CFA có:
- AB = AC
- $\widehat{EBA}=\widehat{FCA}$
- BE = CF
$\Rightarrow $ $\Delta $BEA = $\Delta $CFA
$\Rightarrow $ EA = FA
Do đó $\Delta $EAF cân tại A
3.
Ta có: AD = AB + BD
CE = AC + CF
AB = AC, BD = CF
$\Rightarrow $ AD = CE
Lại có:
$\widehat{EAD}+\widehat{A}=180^{\circ}$ (C1, A1, E thẳng hàng)
$\widehat{FCE}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (B1, C1, F thẳng hàng)
$\widehat{A}=\widehat{C}=60^{\circ}$ ($\Delta $ABC đều)
$\Rightarrow \widehat{EAD}=\widehat{FCE}=120^{\circ}$
- Xét $\Delta $ADE và $\Delta $CEF có
- AE = CF
- AD = CE
- $\widehat{EAD}=\widehat{FCE}$
$\Rightarrow $ $\Delta $ADE = $\Delta $CEF (c.g.c)
$\Rightarrow $ ED = EF.
Vậy $\Delta $EDF cân tại E.
Xét $\Delta $ADE có:
$\widehat{D_{1}}=\widehat{E_{2}}$ ($\Delta $ADE = $\Delta $CEF)
$\widehat{EAD}=120^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{E_{1}}+\widehat{D_{1}} = 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{E_{1}}+\widehat{E_{2}} = 60^{\circ}$. Hay $\widehat{DEF}= 60^{\circ}$
$\Delta $DEF cân có một góc bằng $60^{\circ}$ nên $\Delta $DEF đều.
4.
a) Xét $\Delta $AOB và $\Delta $BOC có:
- OA = OB = OC (giả thiết)
- $\widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}}=60^{\circ}$ (Oz là tia phân giác)
$\Rightarrow $ $\Delta $AOB và $\Delta $BOC là hai tam giác đều.
+) $\widehat{O_{1}}=\widehat{B_{1}}=60^{\circ}$. Mà chúng là hai góc so le trong
$\Rightarrow $ OA // CB
+) $\widehat{O_{2}}=\widehat{B_{2}}=60^{\circ}$. Mà chúng là hai góc so le trong
$\Rightarrow $ OC // AB
b) Xét $\Delta $COI và $\Delta $AOI có:
- OI là cạnh chung
- $\widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}}$
- OA = OC
$\Rightarrow $ $\Delta $COI = $\Delta $AOI (c.g.c)
$\Rightarrow $ $\widehat{OIC}=\widehat{OIA}$
Mà $\widehat{OIC}+\widehat{OIA}=180^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{OIC}=\widehat{OIA}=90^{\circ}$
$\Rightarrow $ OB $\perp $ CA