Bài tập về chứng minh và tính toán các yếu tố trong tam giác cân và tam giác đều

Bài tập về chứng minh và tính toán các yếu tố trong tam giác cân và tam giác đều.

1.

Xét $\mathrm{\Delta }$ABC có: $\hat{A}={36}^{\circ }\Rightarrow \hat{B}+\hat{C}={180}^{\circ }-{36}^{\circ }={144}^{\circ }$

Ta có: $\mathrm{\Delta }$ABC cân tại A nên $\hat{B}=\hat{C}={72}^{\circ }$

Mà $\widehat{ABE}=\frac{1}{2}\hat{B}$ (BE là tia phân giác của $\hat{B}$) nên $\widehat{ABE}={36}^{\circ }$

$\mathrm{\Delta }$ABE có $\hat{A}=\widehat{ABE}={36}^{\circ }$ nên $\mathrm{\Delta }$ABE cân tại E $\Rightarrow$ AE = BE (1)

Xét $\mathrm{\Delta }$BEC có: $\widehat{B_2}={36}^{\circ }$; $\hat{C}={72}^{\circ }$

$\Rightarrow \widehat{BEC}={72}^{\circ }$

$\Rightarrow \widehat{BEC}=\hat{C}={72}^{\circ }$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }$BEC cân tại B $\Rightarrow$ BE = BC (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ AE = BE = BC

2. 

 

Ta có:

$\widehat{EAC}=\widehat{C_1}$ (AE // Cx)

$\widehat{EAC}=\widehat{C_2}$ ($\mathrm{\Delta }$AEC cân tại E)

$\Rightarrow \widehat{C_1}=\widehat{C_2}$

Mà $\widehat{C_2}=\widehat{B_1}$ ($\mathrm{\Delta }$ABC cân)

$\Rightarrow \widehat{C_1}=\widehat{B_1}$ (1)

Mà lại có $\widehat{EBA}+\widehat{B_1}={180}^{\circ }$ (E, B, C thẳng hàng) (2)

          $\widehat{FCA}+\widehat{C_1}={180}^{\circ }$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{EBA}=\widehat{FCA}$

Xét $\mathrm{\Delta }$BEA và $\mathrm{\Delta }$CFA có:

• AB = AC
• $\widehat{EBA}=\widehat{FCA}$
• BE = CF

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$BEA = $\mathrm{\Delta }$CFA

$\Rightarrow$ EA = FA

Do đó $\mathrm{\Delta }$EAF cân tại A

3. 

Ta có: AD = AB + BD

       CE = AC + CF

       AB = AC, BD = CF

$\Rightarrow$ AD = CE

Lại có:

$\widehat{EAD}+\hat{A}={180}^{\circ }$ (C₁, A₁, E thẳng hàng)

$\widehat{FCE}+\hat{C}={180}^{\circ }$ (B₁, C₁, F thẳng hàng)

$\hat{A}=\hat{C}={60}^{\circ }$ ($\mathrm{\Delta }$ABC đều)

$\Rightarrow \widehat{EAD}=\widehat{FCE}={120}^{\circ }$ 

- Xét $\mathrm{\Delta }$ADE và $\mathrm{\Delta }$CEF có

• AE = CF
• AD = CE
• $\widehat{EAD}=\widehat{FCE}$ 

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$ADE = $\mathrm{\Delta }$CEF (c.g.c)

$\Rightarrow$ ED = EF. 

Vậy $\mathrm{\Delta }$EDF cân tại E.

Xét $\mathrm{\Delta }$ADE có: 

$\widehat{D_1}=\widehat{E_2}$ ($\mathrm{\Delta }$ADE = $\mathrm{\Delta }$CEF)

$\widehat{EAD}={120}^{\circ }$ 

$\Rightarrow \widehat{E_1}+\widehat{D_1}={180}^{\circ }-{120}^{\circ }={60}^{\circ }$

$\Rightarrow \widehat{E_1}+\widehat{E_2}={60}^{\circ }$. Hay $\widehat{DEF}={60}^{\circ }$

$\mathrm{\Delta }$DEF cân có một góc bằng ${60}^{\circ }$ nên $\mathrm{\Delta }$DEF đều.

4. 

a) Xét $\mathrm{\Delta }$AOB và $\mathrm{\Delta }$BOC có:

• OA = OB = OC (giả thiết)
• $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}={60}^{\circ }$ (Oz là tia phân giác)

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$AOB và $\mathrm{\Delta }$BOC là hai tam giác đều.

+) $\widehat{O_1}=\widehat{B_1}={60}^{\circ }$. Mà chúng là hai góc so le trong

$\Rightarrow$ OA // CB

+) $\widehat{O_2}=\widehat{B_2}={60}^{\circ }$. Mà chúng là hai góc so le trong

$\Rightarrow$ OC // AB

b) Xét $\mathrm{\Delta }$COI và $\mathrm{\Delta }$AOI có:

• OI là cạnh chung
• $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$
• OA = OC 

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$COI = $\mathrm{\Delta }$AOI (c.g.c)

$\Rightarrow$ $\widehat{OIC}=\widehat{OIA}$

Mà $\widehat{OIC}+\widehat{OIA}={180}^{\circ }$

$\Rightarrow \widehat{OIC}=\widehat{OIA}={90}^{\circ }$

$\Rightarrow$ OB $\perp$ CA