Bài tập về chứng minh và tính toán các yếu tố trong tam giác cân và tam giác đều.

1.

Xét $\Delta $ABC có: $\widehat{A}=36^{\circ}\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ}$

Ta có: $\Delta $ABC cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}=72^{\circ}$

Mà $\widehat{ABE}=\frac{1}{2}\widehat{B}$ (BE là tia phân giác của $\widehat{B}$) nên $\widehat{ABE}=36^{\circ}$

$\Delta $ABE có $\widehat{A}=\widehat{ABE}=36^{\circ}$ nên $\Delta $ABE cân tại E $\Rightarrow $ AE = BE (1)

Xét $\Delta $BEC có: $\widehat{B_{2}}=36^{\circ}$; $\widehat{C}=72^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{BEC}=72^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{BEC}=\widehat{C}=72^{\circ}$

$\Rightarrow \Delta $BEC cân tại B $\Rightarrow $ BE = BC (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ AE = BE = BC

2. 

 

Ta có:

$\widehat{EAC}=\widehat{C_{1}}$ (AE // Cx)

$\widehat{EAC}=\widehat{C_{2}}$ ($\Delta $AEC cân tại E)

$\Rightarrow \widehat{C_{1}}=\widehat{C_{2}}$

Mà $\widehat{C_{2}}=\widehat{B_{1}}$ ($\Delta $ABC cân)

$\Rightarrow \widehat{C_{1}}=\widehat{B_{1}}$ (1)

Mà lại có $\widehat{EBA}+\widehat{B_{1}}=180^{\circ}$ (E, B, C thẳng hàng) (2)

          $\widehat{FCA}+\widehat{C_{1}}=180^{\circ}$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{EBA}=\widehat{FCA}$

Xét $\Delta $BEA và $\Delta $CFA có:

  • AB = AC
  • $\widehat{EBA}=\widehat{FCA}$
  • BE = CF

$\Rightarrow $ $\Delta $BEA = $\Delta $CFA

$\Rightarrow $ EA = FA

Do đó $\Delta $EAF cân tại A

3. 

Ta có: AD = AB + BD

       CE = AC + CF

       AB = AC, BD = CF

$\Rightarrow $ AD = CE

Lại có:

$\widehat{EAD}+\widehat{A}=180^{\circ}$ (C1, A1, E thẳng hàng)

$\widehat{FCE}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (B1, C1, F thẳng hàng)

$\widehat{A}=\widehat{C}=60^{\circ}$ ($\Delta $ABC đều)

$\Rightarrow \widehat{EAD}=\widehat{FCE}=120^{\circ}$ 

- Xét $\Delta $ADE và $\Delta $CEF có

  • AE = CF
  • AD = CE
  • $\widehat{EAD}=\widehat{FCE}$ 

$\Rightarrow $ $\Delta $ADE = $\Delta $CEF (c.g.c)

$\Rightarrow $ ED = EF. 

Vậy $\Delta $EDF cân tại E.

Xét $\Delta $ADE có: 

$\widehat{D_{1}}=\widehat{E_{2}}$ ($\Delta $ADE = $\Delta $CEF)

$\widehat{EAD}=120^{\circ}$ 

$\Rightarrow \widehat{E_{1}}+\widehat{D_{1}} = 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{E_{1}}+\widehat{E_{2}} = 60^{\circ}$. Hay $\widehat{DEF}= 60^{\circ}$

$\Delta $DEF cân có một góc bằng $60^{\circ}$ nên $\Delta $DEF đều.

4. 

a) Xét $\Delta $AOB và $\Delta $BOC có:

  • OA = OB = OC (giả thiết)
  • $\widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}}=60^{\circ}$ (Oz là tia phân giác)

$\Rightarrow $ $\Delta $AOB và $\Delta $BOC là hai tam giác đều.

+) $\widehat{O_{1}}=\widehat{B_{1}}=60^{\circ}$. Mà chúng là hai góc so le trong

$\Rightarrow $ OA // CB

+) $\widehat{O_{2}}=\widehat{B_{2}}=60^{\circ}$. Mà chúng là hai góc so le trong

$\Rightarrow $ OC // AB

b) Xét $\Delta $COI và $\Delta $AOI có:

  • OI là cạnh chung
  • $\widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}}$
  • OA = OC 

$\Rightarrow $ $\Delta $COI = $\Delta $AOI (c.g.c)

$\Rightarrow $ $\widehat{OIC}=\widehat{OIA}$

Mà $\widehat{OIC}+\widehat{OIA}=180^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{OIC}=\widehat{OIA}=90^{\circ}$

$\Rightarrow $ OB $\perp $ CA