Bài tập về chứng minh quan hệ độ dài - tính độ dài đoạn thẳng của hình thang.
1. Câu trả lời là có.
Vì hai đáy không bằng nhau nên hai cạnh bên cắt nhau được, ta được một tam giác có một cạnh là đáy lớn hình thang cân. Tam giác này có hai góc bằng nhau (2 góc tại đáy lớn của hình thang cân) nên nó là tam giác cân.
2.
Áp dụng định nghĩa vào hình thang cân ABCD và tính chất đồng vị của AB // CD, ta có:
$\widehat{D}=\widehat{C}$
$\widehat{D}=\widehat{A_{1}}; \widehat{C}=\widehat{B_{1}}$
$\Rightarrow \widehat{D}=\widehat{C}=\widehat{A_{1}}=\widehat{B_{1}}$
$\Rightarrow $ QA = QB và QD = QC. Vì trong một tam giác, đối diện với hai góc bằng nhau là hai cạnh bằng nhau. Điều này chứng tỏ Q cách đều hai đoạn thẳng AB và CD nên Q thuộc đường trung trực của hai đáy.
Áp dụng tính chất về cạnh bên và đường chéo vào hình thang cân ABCD, ta xét $\Delta $ADC và $\Delta $BCD:
AD = BC
AC = BD
chung CD
$\Rightarrow $ $\Delta $ADC = $\Delta $BCD (c.c.c)
$\Rightarrow \widehat{D_{1}}=\widehat{C_{1}}$
Suy ra PC = PD (1), kết hợp với AC = BD ta có PA = PB (2).
Từ (1) và (2) chứng tỏ P cách đều hai đầu của hai đoạn thẳng CD và AB nên P thuộc đường trung trực của hai đáy. Vậy PQ là đường trung trực của hai đáy.
3.
Xét hình thang cân ABCD (AB // CD) có đáy lớn CD = 2,7m, cạnh bên BC = 1m và $\widehat{C}=60^{\circ}$, ta phải tính đáy nhỏ.
Kẻ BE // AD ta được hình thang ABED có hai cạnh bên BE, AD song song nên AB = DE.
Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nênAD = BC = 1m
Hình thang ABCD cân nên AD = BE
$\Rightarrow $ BC = BE = 1m
Mà $\widehat{C}=60^{\circ}$ nên $\Delta $BCE là tam giác đều có cạnh EC = 1m
Vậy đáy nhỏ AB = DE = 2,7 - 1=1,7 (m)
4.
Theo bài 1 ta có kéo dài hai cạnh bên hình thang cân ABCD thu được $\Delta $IDC cân tại I.
Theo giả thiết DB vừa là tia phân giác của góc D, vừa là đường cao nên tam giác IDC cân tại D suy ra nó là tam giác đều cạnh DC = CI = 8cm
Chứng minh tương tự được tam giác IAB là tam giác đều nên AB = 4cm.
Vậy chu vi hình thang cân là 20cm.