Bài tập về chứng minh bất đẳng thức

Bài tập về chứng minh bất đẳng thức.

1. Ta có:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\iff \frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\ge 2\iff a^2+b^2\ge 2ab\iff (a-b{)}^2\ge 0$ (luôn đúng)

Vậy $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$, dấu "=" xảy ra khi a = b

2. Ta có:

 $a(a+2)<(a+1{)}^2\iff a^2+2a<a^2+2a+1\iff 0<1$ (luôn đúng)

Vậy $a(a+2)<(a+1{)}^2$

3. Ta có: 

$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge 4\iff 1+\frac{a}{b}+1+\frac{b}{a}\ge 4\iff 2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 4\iff \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$ (chứng minh ở câu 1)

Vậy $(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge 4$, dấu "=" xảy ra khi a = b 

4. Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật là a, b (a, b > 0)thì a+b=20. Yêu cầu của đề bài tương đương với $a.b\le 100$ với a+b=20

Chứng minh : $(a+b{)}^2\ge 4ab\iff {20}^2\ge 4ab\iff ab\le 100$ (đpcm)

Vậy diện tích hình vuông có cạnh là 10m không nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật có cùng chu vi, dấu "=" xảy ra khi a = b.

5. Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số thực ta có:

 $a^2+b^2\ge 2ab$

 $a^2+1\ge 2a$

 $b^2+1\ge 2b$

$\Rightarrow a^2+b^2+a^2+1+b^2+1\ge 2ab+2a+2b$

$\iff 2(a^2+b^2+1)\ge 2(ab+a+b)$

$\iff a^2+b^2+1\ge ab+a+b$

Vậy $a^2+b^2+1\ge ab+a+b$, dấu "=" xảy ra khi a = b = 1.