Xác định hệ số để hệ phương trình có nghiệm, vô nghiệm, vô số nghiệm.
a, Thay x = $\sqrt{2}$; y = $-\sqrt{2}$ vào hệ, ta có: $\left\{\begin{matrix}2\sqrt{2}+\sqrt{2}a=b & & \\ \sqrt{2}a-\sqrt{2}b=1 & & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}2\sqrt{2}+\sqrt{2}b=b-1 & & \\ \sqrt{2}a-\sqrt{2}b=1 & & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}b=\frac{2\sqrt{2}+1}{1-\sqrt{2}} & & \\ \sqrt{2}a-\sqrt{2}b=1 & & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}b=-(5+3\sqrt{2}) & & \\ a=\frac{1+b\sqrt{2}}{\sqrt{2}} & & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}b=-(5+3\sqrt{2}) & & \\ a=\frac{-5(\sqrt{2}+2)}{2} & & \end{matrix}\right.$
b, Hệ phương trình đã cho tương đương với:
$\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{2}(ax+b) & & \\ ax+by=1 & & \end{matrix}\right.$
Thay biểu thức của x vào phương trình thứ hai ta được:
a.$\frac{1}{2}$(ay +b) + by = 1 <=> $\left ( \frac{a^{2}}{2}+b \right )y=1-\frac{ab}{2}$
Hệ đã cho có vô số nghiệm khi và chỉ khi: $\left\{\begin{matrix}\frac{a^{2}}{2}+b=0 & & \\ 1-\frac{ab}{2}=0 & & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}b=-\frac{a^{2}}{2} & & \\ 1-\frac{ab}{2}=0 & & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}b=-\frac{a^{2}}{2} & & \\ a^{3}=-4 & & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a=-\sqrt[3]{4} & & \\ b=-\sqrt[3]{2} & & \end{matrix}\right.$