Xác định hệ số để hệ phương trình có nghiệm, vô nghiệm, vô số nghiệm

Xác định hệ số để hệ phương trình có nghiệm, vô nghiệm, vô số nghiệm.

a, Thay x = $\sqrt{2}$ ; y = $- \sqrt{2}$ vào hệ, ta có: ${\begin{matrix} 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} a = b \\ \sqrt{2} a - \sqrt{2} b = 1 \end{matrix}$

<=> ${\begin{matrix} 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} b = b - 1 \\ \sqrt{2} a - \sqrt{2} b = 1 \end{matrix}$

<=> ${\begin{matrix} b = \frac{2 \sqrt{2} + 1}{1 - \sqrt{2}} \\ \sqrt{2} a - \sqrt{2} b = 1 \end{matrix}$

<=> ${\begin{matrix} b = - (5 + 3 \sqrt{2}) \\ a = \frac{1 + b \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \end{matrix}$

<=> ${\begin{matrix} b = - (5 + 3 \sqrt{2}) \\ a = \frac{- 5 (\sqrt{2} + 2)}{2} \end{matrix}$

b, Hệ phương trình đã cho tương đương với:

${\begin{matrix} x = \frac{1}{2} (a x + b) \\ a x + b y = 1 \end{matrix}$

Thay biểu thức của x vào phương trình thứ hai ta được:

a. $\frac{1}{2}$ (ay +b) + by = 1 <=> $(\frac{a^{2}}{2} + b) y = 1 - \frac{a b}{2}$

Hệ đã cho có vô số nghiệm khi và chỉ khi: ${\begin{matrix} \frac{a^{2}}{2} + b = 0 \\ 1 - \frac{a b}{2} = 0 \end{matrix}$

<=> ${\begin{matrix} b = - \frac{a^{2}}{2} \\ 1 - \frac{a b}{2} = 0 \end{matrix}$

<=> ${\begin{matrix} b = - \frac{a^{2}}{2} \\ a^{3} = - 4 \end{matrix}$

<=> ${\begin{matrix} a = - \sqrt[3]{4} \\ b = - \sqrt[3]{2} \end{matrix}$