Xác định giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm.
2. Từ phương trình thứ nhất => y = -x + 1 (1)
Từ phương trình thứ hai => y = $-\frac{a}{2}$x (2)
a, Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi các đường thẳng (1) và (2) cắt nhau, hay là các hệ số góc của chúng khác nhau => $-\frac{a}{2}\neq 1$ <=> $a\neq 2$
b, Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi hai đường thẳng (1) và (2) sông song. Vì hai đường thẳng này có tung độ góc khác nhau nên chúng song song với nhau khi và chỉ khi hệ số góc của chúng khác nhau => $-\frac{a}{2}=1$ <=> a = 2
c, Hai đường thẳng (1) và (2) có tung độ góc khác nhau nên không thể trùng nhau. Vậy hệ đã cho không thể có vô số nghiệm.
3. a, Biến đổi hệ đã cho thành $\left\{\begin{matrix}y=2x-m(1) & & \\ y=-\frac{m}{\sqrt{2}}x+\frac{m}{\sqrt{2}}(2) & & \end{matrix}\right.$
Hệ có vô số nghiệm khi và chỉ khi hai đường thẳng (1) và (2) song song hay $-\frac{m}{\sqrt{2}}=2$ => $m=-2\sqrt{2}$.
Mặt khác, khi $m=-2\sqrt{2}$ thì tung độ góc của hai đường thẳng này khác nhau ($-m\neq \frac{m}{\sqrt{2}}$). Vậy hệ vô nghiệm khi và chỉ khi $m=-2\sqrt{2}$.
Theo trên ta thấy khi hai đường thẳng (1) và (2) có cùng hệ số góc ($m=-2\sqrt{2}$) thì tung độ góc của chúng khác nhau. Vạy không có giá trị nào của m đề hệ có vô số nghiệm.
b, Từ a suy ra khi $m\neq -2\sqrt{2}$ thì đường thẳng (1) và (2) có hệ số góc khác nhau, tức là chúng cắt nhau. Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m\neq -2\sqrt{2}$.
4. Hệ có vô số nghiệm <=> $\frac{2}{2m+1}=\frac{1}{-1}=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}$ <=> $\frac{2}{2m+1}=-1$
<=> 2m + 1 = -2 <=> $m=-\frac{3}{2}$
Với $m=-\frac{3}{2}$ ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}2x+y=\frac{1}{2} & & \\ -2x-y=-\frac{1}{2} & & \end{matrix}\right.$
=> Công thức nghiệm tổng quát của hệ: $\left\{\begin{matrix}x\in \mathbb{R} & & \\ y=-2x+\frac{1}{2} & & \end{matrix}\right.$