Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên

Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên.

 a, ĐKXĐ: $x\ge 0,x\ne 4,x\ne 9$

S = $\frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}$

   = $\frac{2\sqrt{x}-9}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$

   = $\frac{2\sqrt{x}-9-(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)+(2\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}$

   = $\frac{2\sqrt{x}-9-x+9+2x-3\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}$ = $\frac{x-\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}$

  = $\frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}$ = $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$

Vậy Q = $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$

b, Ta có:

Q = $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$ = $\frac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}$

   = $\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-3}+\frac{4}{\sqrt{x}-3}$ = $1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}$

Để Q nguyên thì $\frac{4}{\sqrt{x}-3}$ nguyên <=> $(\sqrt{x}-3)\in$ Ư(4) <=> $\sqrt{x}-3=\pm 1;\pm 2;\pm 4$

+ Với $\sqrt{x}-3=-1$ <=> $\sqrt{x}=2$ <=> x = 4 (loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ)

+ Với $\sqrt{x}-3=1$ <=> $\sqrt{x}=4$ <=>x = 16 (thỏa mãn ĐKXĐ)

+ Với $\sqrt{x}-3=-2$ <=> $\sqrt{x}=1$ <=> x = 1 (thỏa mãn ĐKXĐ)

+ Với $\sqrt{x}-3=2$ <=>$\sqrt{x}=5$ <=> x = 25 ( thỏa mãn ĐKXĐ)

+ Với $\sqrt{x}-3=-4$ <=> $\sqrt{x}=-1$ (loại vì $\sqrt{x}$ > 0 với mọi x )

+ Với $\sqrt{x}-3=4$ <=> $\sqrt{x}=7$ <=> x = 49 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy với x = {1; 4; 16; 25; 49) thì Q nhận giá trị nguyên.