Tìm giá trị của biến để biểu thức thỏa mãn đẳng thức, bất đẳng thức

Tìm giá trị của biến để biểu thức thỏa mãn đẳng thức, bất đẳng thức.

a, R = $(1+\frac{\sqrt{x}}{x+1}):(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+\sqrt{x}-x-1})$

= $\frac{x+1+\sqrt{x}}{x+1}:(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(x+1)-(x+1)})$

= $\frac{x+1+\sqrt{x}}{x+1}:(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x+1)})$

= $\frac{x+1+\sqrt{x}}{x+1}:\frac{x+1-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x+1)}$

= $\frac{x+1+\sqrt{x}}{x+1}:\frac{(\sqrt{x}-1{)}^2}{(\sqrt{x}-1)(x+1)}$

= $\frac{x+1+\sqrt{x}}{x+1}:\frac{\sqrt{x}-1}{x+1}$

= $\frac{x+1+\sqrt{x}}{x+1}.\frac{x+1}{\sqrt{x}-1}$

= $\frac{x+1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$

Vậy R = $\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$

b, Do $x\ge 0,x\ne 1$ nên R = 7 <=> $\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$ = 7

<=> $x+\sqrt{x}+1=7.(\sqrt{x}-1)$ <=> $x-6\sqrt{x}+8=0$

<=> $(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-4)=0$ <=> $\sqrt{x}-2=0$ hoặc $\sqrt{x}-4=0$

<=> $\sqrt{x}=2$ hoặc $\sqrt{x}=4$ <=> x = 4 hoặc x = 16

Ta thấy x = 4 và x = 16 đều thỏa mãn điều kiện $x\ge 0,x\ne 1$

Vậy x = 4 , x = 16 thì R = 7

c, $x=2(2+\sqrt{3})=4+2\sqrt{3}=(\sqrt{3}+1{)}^2$ thỏa mãn điều kiện $x\ge 0,x\ne 1$

<=> $\sqrt{x}=\sqrt{3}+1$

Thay vào R ta có:

$R=\frac{4+2\sqrt{3}+\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1-1}=\frac{6+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{9+6\sqrt{3}}{3}=3+2\sqrt{3}$

d, Do $x\ge 0,x\ne 1$ nên R < 1 <=> $\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$ < 1

<=> $\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-1<0$

<=> $\frac{x+\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}<0$

<=> $\frac{x+2}{\sqrt{x}-1}<0$ ó $\sqrt{x}-1<0$ (vì với $x\ge 0,x\ne 1$ thì (x +2) > 0)

<=> $\sqrt{x}<1$ ó x < 1

Kết hợp với điều kiện $x\ge 0,x\ne 1$ => $0\le x<1$

Vậy với $0\le x<1$ thì R < 1