Tìm giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Tìm giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

a, Q = $[\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x y} + 1} + \frac{\sqrt{x} (\sqrt{y} + 1)}{1 - \sqrt{x y}} + 1] : [1 - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x y} + 1} - \frac{\sqrt{x} (\sqrt{y} + 1)}{\sqrt{x y} - 1}]$ với $x \geq 0, y \geq 0$ và $x y \neq 1$

<=> Q = $\frac{(\sqrt{x} + 1) (1 - \sqrt{x y}) + \sqrt{x} (\sqrt{y} + 1) (\sqrt{x y} + 1) + (\sqrt{x y} + 1) (1 - \sqrt{x y})}{(\sqrt{x y} + 1) (1 - \sqrt{x y})}$

: $\frac{(\sqrt{x y} + 1) (\sqrt{x y} - 1) - (\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x y} - 1) - \sqrt{x} (\sqrt{y} + 1) (\sqrt{x y} + 1)}{(\sqrt{x y} + 1) (\sqrt{x y} - 1)}$

<=> Q = $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x^{2} y} + 1 - \sqrt{x y} + x y + \sqrt{x} + \sqrt{x^{2} y} + \sqrt{x y} + 1 - x y}{1 - x y} : \frac{x y - 1 - (\sqrt{x^{2} y} - \sqrt{x} - \sqrt{x y} - 1) - (x y + \sqrt{x} + \sqrt{x^{2} y} + \sqrt{x y})}{x y - 1}$

<=> Q = $\frac{2 \sqrt{x} + 2}{1 - x y} : \frac{- 2 \sqrt{x^{2} y} - 2 \sqrt{x y}}{x y - 1}$

<=> Q = $\frac{2. (\sqrt{x} + 1)}{1 - x y} . \frac{1 - x y}{2 \sqrt{x y} . (\sqrt{x} + 1)}$ = $\frac{1}{\sqrt{x y}}$

Vậy Q = $\frac{1}{\sqrt{x y}}$

b, $x = 2 (3 - \sqrt{5}), y = 2 (3 + \sqrt{5})$

=> xy = $2. (3 - \sqrt{5}) .2 . (3 + \sqrt{5}) = 4. (9 - 5) = 16$ => $\sqrt{x y} = 4$

Thay vào Q ta có: Q= $\frac{1}{4}$

c, $\frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{y}} = 5$ <=> $\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{5}{2}$

<=> ${(\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}})}^{2} = \frac{25}{4}$ <=> $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{25}{4} - \frac{2}{\sqrt{x y}}$

Ta có: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq 2. \frac{1}{\sqrt{x}} . \frac{1}{\sqrt{y}}$

<=> $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq 2. \frac{1}{\sqrt{x y}}$ <=> $\frac{25}{4} - \frac{2}{\sqrt{x y}} \geq \frac{2}{\sqrt{x y}}$

<=> $\frac{4}{\sqrt{x y}} \leq \frac{25}{4}$ <=> $\frac{1}{\sqrt{x y}} \leq \frac{25}{16}$ <=> $Q \leq \frac{25}{16}$

Vậy Q nhận GTLN bằng $\frac{25}{16}$ <=> $\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{y}}$ <=> x = y = $\frac{16}{25}$

Tìm giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Bài học cùng chủ đề

Đề thi cùng chủ đề