So sánh hai dây cung, hai đoạn thẳng

So sánh hai dây cung, hai đoạn thẳng.

5.

a, Vẽ dây AB vuông góc với OM thì AM = MB = $\frac{AB}{2}$ và OM là khoảng cách từ tâm O đến dây AB.

Áp dụng hệ thức Py-ta-go vào tam giác OAM vuông tại M có cạnh huyền OA = 5cm, ta có:

OA${}^2$ = AM${}^2$ + MO${}^2$ <=> 5${}^2$ = AM${}^2$ + 3${}^2$

<=> AM${}^2$ = 4${}^2$ <=> AM = 4cm

Suy ra dây AB = 2AM = 2.4 = 8cm

Kẻ dây CD bất kì đi qua M và OI vuông góc với dây CD thì OI là khoảng cách từ tâm O đến dây CD. Lúc đó OI là đường vuông góc kẻ từ O đến dây CD và OM là đường xiên kẻ từ O đến dây CD.

Suy ra OI $\le$ OM => CD $\ge$ AB = 8cm. Vậy AB = 8cm là dây ngắn nhất đi qua M.

b, Kéo dài OM cắt (O) tại E, F thì EF = 10cm là dây dài nhất đi qua M (vì trong một đường tròn dây dài nhất là đường kính).

6.

Vì OH đi qua trung điểm H của dây AB không đi qua tâm nên OH $\perp$ AB do đó OH là khoảng cách từ O đến dây AB

OK đi qua trung điểm K của dây CD không đi qua tâm nên OK $\perp$ CD do đó OK là khoảng cách từ O đến dây CD.

Áp dụng hệ thức Py-ta-go vào hai tam giác vuông MOH và MOK cùng chung cạnh huyền MO, ta có:

MO${}^2$ = OH${}^2$ + HM${}^2$ = OK${}^2$ + KM${}^2$ (1)

Do AB > CD => OH < OK => OH${}^2$ < OK${}^2$ (2)

Từ (1) và (2) => MH${}^2$ > MK${}^2$ hay MH > MK