Lời giải Ví dụ 4 Các dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào 10

Lời giải Ví dụ 4 Các dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào 10.

Lời giải ví dụ 4 :

Đề ra : 

Cho phương trình : $x^2-2mx+m-2=0$    ( x là ẩn số )                 (1)

a. Chứng minh (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m .

b. Định m để hai nghiệm  $x_1,x_2$  của (1) thỏa mãn :  $(1+x_1)(2-x_2)+(1+x_2)(2-x_1)=x_1^2+x_2^2+2$ .

<  Trích đề thi tuyển sinh vào 10 THPT ,  TP Hồ Chí Minh năm 2016 - 2017 >

Lời giải chi tiết : 

                     $x^2-2mx+m-2=0$    ( x là ẩn số )                 (1)

a.  Ta có :  $\mathrm{\Delta }{}^{\prime }=m^2-m+2=m^2-m+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}$

    <=>  $\mathrm{\Delta }{}^{\prime }=(m-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{7}{4}$

Vì  : $\mathrm{\Delta }{}^{\prime }=(m-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{7}{4}>0,\mathrm{\forall }m$

=>   (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m .   ( đpcm )

b.  Áp dụng hệ thức Vi-et , ta có : $\{\begin{array}{cc}{x}_1+x_2=2m& \\ x_1.x_2=m-2& \end{array}$

Do đó :  $(1+x_1)(2-x_2)+(1+x_2)(2-x_1)=x_1^2+x_2^2+2$ .

<=>   $2-x_2+2x_1-x_1{x}_2+2-x_1+2x_2-x_1{x}_2=x_1^2+x_2^2+2$

<=>   $x_1^2+x_2^2+2x_1{x}_2-x_1-x_2-2=0$

<=>    $(x_1+x_2{)}^2-(x_1+x_2)-2=0$

<=>    $4m^2-2m-2=0<=>2m^2-m-1=0$        (*)

Nhận xét : (*) có dạng : a + b + c = 0 

=>  (*) có hai nghiệm phân biệt :  $m=1;m=\frac{-1}{2}$

Vậy  để hai nghiệm  $x_1,x_2$  của (1) thỏa mãn :  $(1+x_1)(2-x_2)+(1+x_2)(2-x_1)=x_1^2+x_2^2+2$  thì m = 1 hoặc $m=\frac{-1}{2}$ .