Lời giải Bài 1-Một số bài toán Hình học thường gặp trong đề tuyển sinh vào 10 năm 2017

Lời giải Bài 1-Một số bài toán Hình học thường gặp trong đề tuyển sinh vào 10 năm 2017.

Đề ra :

Cho tam giác ABC có các đường cao BD , CE .Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N .

a. Chứng minh : BEDC nội tiếp .

b. Chứng minh : $\hat{D E A} = \hat{A C B}$ .

c. Chứng minh : DE // với tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác .

d. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chứng minh OA là phân giác góc $\hat{M A N}$ .

e. Chứng minh : $A M^{2} = A E . A B$ .

Hướng dẫn giải :

Ta có : $\hat{B E C} = \hat{B D C} = 90^{\circ}$

=> $\hat{B E C} + \hat{B D C} = 180^{\circ}$

=> Tứ giác BEDC nội tiếp . ( đpcm )

Do BEDC nội tiếp => $\hat{D M B} + \hat{D C B} = 180^{\circ}$

Mà : $\hat{D E B} + \hat{A E D} = 180^{\circ}$

=> $\hat{A C B} = \hat{A E D}$ ( đpcm )

Gọi tiếp tuyến tại A của (O) là đường thằng xy

=> xy cũng là đường tiếp tuyến .

Vì AB là dây cung => sđ góc $\hat{x A B}$ = $\frac{1}{2}$ sđ cung AB .

Mặt khác , ta có : sđ góc $\hat{A C B}$ = $\frac{1}{2}$ sđ cung AB .

=> $\hat{x A B} = \hat{A C B}$

Mà : $\hat{A C B} = \hat{A E D}$

=> $\hat{x A B} = \hat{A E D}$ hay xy // DE .

Vậy DE // với tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác . ( đpcm )

Vì : xy // DE => xy // MN

Mà : $O A ⊥ x y$ => $O A ⊥ M N$

=> OA là đường trung trực của MN .

=> $△ A M N$ cân tại A .

=> AO là phân giác của góc $\hat{M A N}$ . ( đpcm )

Do : $△ A M N$ cân tại A => AM = AN

=> sđ cung AM = sđ cung AN

=> $\hat{M B A} = \hat{A M N}$

Và : $\hat{M A B}$

=> $△ M A E \sim △ B A M$

=> $\frac{M A}{A B} = \frac{A E}{M A} => M A^{2} = A E . A B$ ( đpcm )