Lời giải Bài 2-Một số bài toán Hình học thường gặp trong đề tuyển sinh vào 10 năm 2017

Lời giải Bài 2-Một số bài toán Hình học thường gặp trong đề tuyển sinh vào 10 năm 2017.

Lời giải chi tiết :

Đề ra :

Cho ( O ) , đường kính AC .Trên OC lấy điểm B và vẽ đường tròn ( O' ) ,đường kính BC .Gọi M là trung điểm AB .Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB , DC cắt (O') tại I .

a.  Tứ giác ADBE là hình gì ?

b.  Chứng minh : DMBI nội tiếp .

c.  Chứng minh : B , I , C  thẳng hàng và MI = MD .

d.  Chứng minh : MC. DB = MI . DC 

e.  Chứng minh : MI là tiếp tuyến của (O') .

Hướng dẫn giải : 

 

a.

Ta có : $\{\begin{array}{cc}MA=MB& \\ AB\perp DE& \end{array}$

=>  DM = ME 

=>  Tứ giác ADBE là hình bình hành .

Mặt khác , ta có : BD = BE ( AB là đường trung trực của DE ) 

=>  Tứ giác ADBE là hình thoi .

b. Ta có :

• BC là đường kính 
• $I\in (O^{\prime })$

=>  $\widehat{BID}={90}^{\circ }$

Và :  $\widehat{DMB}={90}^{\circ }$

=>  $\widehat{BID}+\widehat{DMB}={180}^{\circ }$

=>  Tứ giác  DMBI nội tiếp .   ( đpcm )

c.

Vì AEBD là hình thoi   =>  BE // AD

Mà :  $AD\perp DC$  ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=>  $BE\perp DC$             (1)

Ta có :  $\{\begin{array}{ccc}BE\perp DC& & \\ CM\perp DE& & \\ \widehat{BIC}={90}^{\circ }& & \end{array}$

=>  $BI\perp DC$              (2)

Từ (1) , (2)  =>  B , I , E thẳng hàng .   ( đpcm )

Ta có :  $\{\begin{array}{cc}MD=ME& \\ \mathrm{△}EID(\hat{I}={90}^{\circ })& \end{array}$

=>   MI là  đường trung tuyến của tam giác vuông DEI .

=>  MI = MD .     ( đpcm )

d. 

Xét $\mathrm{△}MCI$  và $\mathrm{△}DCB$ , ta có :

• $\hat{C}$ chung 
• $\widehat{BDI}=\widehat{IMB}$   ( cùng chắn cung MI )

=>  $\mathrm{△}MCI\sim \mathrm{△}DCB$

=>  $\frac{MC}{DC}=\frac{MI}{DB}<=>MC.DB=MI.DC$    ( đpcm )

e. 

+  Ta có : $\mathrm{△}{O}^{\prime }IC$  cân  =>  $\widehat{O^{\prime }IC}=\widehat{O^{\prime }CI}$

Mặt khác : Tứ giác MBID nội tiếp   =>  $\widehat{MIB}=\widehat{MDB}$     ( cùng chắn cung MB )

+  Ta có:  $\mathrm{△}BDE$  cân tại B  =>  $\widehat{MDB}=\widehat{MEB}$

Và  : Tứ giác MECI nội tiếp  =>  $\widehat{MEB}=\widehat{MCI}$   ( cùng chắn cung MI )

=>   $\widehat{O^{\prime }IC}=\widehat{MIB}$

=>   $\widehat{BI{O}^{\prime }}+\widehat{MIB}=\widehat{O^{\prime }IC}+\widehat{BI{O}^{\prime }}={90}^{\circ }$

=>  $MI\perp O^{\prime }I$ tại I nằm trên đường tròn (O')

Vậy  MI là tiếp tuyến của (O') .     ( đpcm )