Lời giải Ví dụ 2 Các dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào 10

Lời giải Ví dụ 2 Các dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào 10.

Lời giải ví dụ 2 :

Đề ra : 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thằng (d) : $y=3x+m^2-1$  và parabol (P) : $y=x^2$ .

a.  Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m .

b.  Gọi $x_1,x_2$ là hoành độ các giao điểm của (d) và (P) . Tìm m để  $(x_1+1)(x_2+1)=1$ .

< Trích đề thi tuyển sinh vào 10 THPT ,  TP Hà Nội năm 2016 - 2017 >

Lời giải chi tiết : 

Ta có  :

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là : $x^2=3x+m^2-1$

<=>  $x^2-3x-m^2+1=0$   (*)

a. Để (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m <=> $\mathrm{\Delta }>0,\mathrm{\forall }m$

Ta có : $\mathrm{\Delta }=(-3{)}^2-4.(-m^2+1)=9+4m^2-4=4m^2+5$

Vì $\mathrm{\Delta }=4m^2+5>0,\mathrm{\forall }m$

=>  Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt .

=>  (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m .   ( đpcm )

b.  Giả sử (*) luôn có hai nghiệm $x_1,x_2$ . Theo hệ thức Vi-et , ta có : 

$\{\begin{array}{cc}{x}_1+x_2=3& \\ x_1.x_2=-m^2+1& \end{array}$

Do đó : $(x_1+1)(x_2+1)=1$ .

<=>  $x_1.x_2+x_1+x_2+1=1$

<=>   $-m^2+1+3+1=1<=>m^2=4=>m=\pm 2$

Vậy $m=\pm 2$ thì $(x_1+1)(x_2+1)=1$ .