Lời giải Ví dụ 1 Các dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào 10

Lời giải Ví dụ 1 Các dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào 10.

Đề ra :

Cho hai biểu thức : $A=\frac{7}{\sqrt{x}+8}$ và $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}-24}{x-9} (x\geq 0,x\neq 9)$

a. Tính giá trị của biểu thức A khi x= 25 .

b. Chứng minh : $B=\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}$ .

c. Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên .

< Trích đề thi tuyển sinh vào 10 THPT , TP Hà Nội năm 2016 - 2017 >

Lời giải chi tiết :

$A=\frac{7}{\sqrt{x}+8}$

a. Khi x = 25 , thay vào A ta được :

$A=\frac{7}{\sqrt{25}+8}=\frac{7}{5+8}=\frac{7}{13}$

Vậy khi x = 25 thì $A=\frac{7}{13}$ .

b. Ta có : $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}-24}{x-9} (x\geq 0,x\neq 9)$

<=> $B=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)+2\sqrt{x}-24}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}$

<=> $B=\frac{x+3\sqrt{x}+2\sqrt{x}-24}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}$

<=> $B=\frac{x-3\sqrt{x}+8\sqrt{x}-24}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}$

<=> $B=\frac{(\sqrt{x}+8)(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}$

<=> $B=\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}$ ( luôn đúng ) => ( đpcm )

Vậy $B=\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}$ .

c. Ta có : P = A . B = $\frac{7}{\sqrt{x}+8}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}-24}{x-9}$

<=> $P=\frac{7}{\sqrt{x}+8}.\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}$

<=> $P=\frac{7}{\sqrt{x}+3}$

Mà : $\sqrt{x}\geq 0 => \sqrt{x}+3\geq 0<=> \sqrt{x}+3\geq 3$

=> $0<\frac{7}{\sqrt{x}+3}\leq \frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$

Theo giả thiết , để P = A.B có giá trị là số nguyên

<=> $\frac{7}{\sqrt{x}+3}=1 (1)$ hoặc $\frac{7}{\sqrt{x}+3}=2 (2)$

Xét (1) :

$\frac{7}{\sqrt{x}+3}=1<=> \sqrt{x}+3=7$

<=> $\sqrt{x}=4=> x=16$ ( t/mãn )

Xét (2) :

$\frac{7}{\sqrt{x}+3}=2<=> \sqrt{x}+3=\frac{7}{2}$

<=> $\sqrt{x}=\frac{1}{2}=> x=\frac{1}{4}$ ( t/mãn )

Vậy khi x = 16 hoặc $ x=\frac{1}{4}$ thì P = A.B có giá trị là số nguyên .