Lời giải Câu 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT chuyên Lê Qúy Đôn

Lời giải Câu 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT chuyên Lê Qúy Đôn.

Đề bài :

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm . Chứng minh :

$\frac{H A}{B C} + \frac{H B}{C A} + \frac{H C}{A B} \geq \sqrt{3}$

Hướng dẫn giải chi tiết :

Gọi D , E , F lần lượt là các chân đường cao tương ứng kẻ từ các đỉnh A , B , C .

Đăt $x = \frac{H A}{B C}$ ; $y = \frac{H B}{C A}$ ; $z = \frac{H C}{A B}$

Ta có : $△ B H D \sim △ A D C$

=> $\frac{H B}{A C} = \frac{B D}{A D}$

=> $x . y = \frac{H A}{B C} . \frac{H B}{A C} = \frac{H A}{B C} . \frac{B D}{A D} = \frac{S_{A H B}}{S_{A B C}}$

Tương tự , ta có : $y . z = \frac{S_{B H C}}{S_{A B C}}$

$z . x = \frac{S_{C H A}}{S_{A B C}}$

=> xy + yz + zx = $\frac{S_{A H B} + S_{B H C} + S_{C H A}}{S_{A B C}} = \frac{S_{A B C}}{S_{A B C}} = 1$

Mà : $(x + y + z)^{2} \geq 3 (x y + y z + z x)$

=> $(x + y + z)^{2} \geq 3$

=> $x + y + z \geq \sqrt{3}$

Vậy $\frac{H A}{B C} + \frac{H B}{C A} + \frac{H C}{A B} \geq \sqrt{3}$ (đpcm).