Lời giải Câu 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT chuyên Lê Qúy Đôn.
Lời giải câu 4 :
Đề bài :
Cho hai đường tròn (O;R) và (O' ; R' ) cắt nhau tại A và B ( OO' > R > R' ). Trên nửa mặp phẳng bờ là OO' có chứa điểm A, kẻ tiếp tuyến chung MN của hai đường tròn trên ( với M thuộc (O) và N thuộc (O' ) ).Biết BM cắt (O' ) tại điểm E nằm trong (O) và đường thẳng AB cắt MN tại I.
a. Chứng minh rằng :
b. Qua B , kẻ đường thẳng (d) // MN , (d) cắt (O) tại C và (O' ) tại D (với C, D khác B ).Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của CD và EM.Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACD và các điểm A, B , P , Q cùng thuộc một đường tròn .
c. Chứng minh tam giác BIP cân .
Hướng dẫn giải chi tiết :
Ta có :
=>
=
=>
=>
Tương tự, ta có :
Từ (*) , (**) => IM = IN
=> I là trung điểm của đoạn MN . (đpcm)
b.
Xét tứ giác AEBD có :
=>
=>
=>
=>
=> Tứ giác ABPQ nội tiếp đường tròn .
Vậy các điểm A, B , P , Q cùng thuộc một đường tròn .
c. Gọi K là giao điểm của CM và DN .
Do CDNM là hình thang => I , K , P thẳng hàng .
Ta có : MN // BC =>
=>
=>
Mặt khác , ta lại có :
=>
Tương tự :
=>
=>
=> MN là đường trung trực của AB .
=>
=>
=> I là trung điểm của KP .
=> IK = IP .
Vậy