Lời giải Câu 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán năm 2017 của trường THPT chuyên Nguyễn Trãi

Lời giải Câu 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán năm 2017 của trường THPT chuyên Nguyễn Trãi.

Lời giải  câu 3 :

Đề bài :

a. Tìm dạng tổng quát của số nguyên dương n biết : $M=n{.4}^n+3^n$  chia hết cho 7 .

b. Tìm các cặp số ( x; y ) nguyên dương thỏa mãn : $(x^2+4y^2+28{)}^2-17(x^4+y^4)=238y^2+833$

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.  

+  Với n = 2k  ( k - nguyên dương )

=> $M=2k{.4}^{2k}+3^{2k}=2k{.16}^k+9^k$

Ta có :  ${16}^k$  và $9^k$ cùng dư với $2^k$ khi chia 7.

=>  M cùng dư với $2k{.2}^k+2^k=2^k(2k+1)$ chia 7 

=> ( 2k + 1 ) chia hết cho 7.

=> k chia 7 dư 3 <=> k = 7q + 3

=> n = 14q + 6 ( $q\in N$ ) .

+  Với n = 2k + 1   ( k - nguyên dương )

=>  $M=(2k+1){.4}^{2k+1}+3^{2k+1}$

<=>  $4.(2k+1){.16}^k+{3.9}^k$

=> M cùng dư với $(k+4){.2}^k+{3.2}^k=(k+7){.2}^k$ chia cho 7.

=>  k chia hết cho 7 => k = 7p.  ( $p\in N$ ) 

Vậy  n = 14p + 1  hoặc n = 14q + 6   ( $p,q\in N$ ) .