Lời giải Câu 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT chuyên Lê Qúy Đôn

Lời giải Câu 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT chuyên Lê Qúy Đôn.

Đề bài :

Cho x, y ,z là 3 số dương thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 x y z$ .Chứng minh :

$\frac{x^{2}}{y + 2} + \frac{y^{2}}{z + 2} + \frac{z^{2}}{x + 2} \geq 1$ (*)

Hướng dẫn giải chi tiết :

Ta có :

+ $\frac{x^{2}}{y + 2} + \frac{y + 2}{9} \geq 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{y + 2} . \frac{y + 2}{9}} = \frac{2}{3} x$

=> $\frac{x^{2}}{y + 2} \geq \frac{6 x - y - 2}{9}$

+ $\frac{y^{2}}{z + 2} \geq \frac{6 y - z - 2}{9}$

+ $\frac{z^{2}}{x + 2} \geq \frac{6 z - x - 2}{9}$

=> $\frac{x^{2}}{y + 2} + \frac{y^{2}}{z + 2} + \frac{z^{2}}{x + 2} \geq \frac{5 (x + y + z) - 6}{9}$

Mặt khác : $\frac{(x + y + z)^{3}}{9} \geq 3 x y z; x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \frac{1}{3} (x + y + z)^{2}$ (1)

=> $\frac{(x + y + z)^{3}}{9} \geq \frac{1}{3} (x + y + z)^{2} <=> x + y + z \geq 3$ (2)

Từ (1),(2) => $\frac{x^{2}}{y + 2} + \frac{y^{2}}{z + 2} + \frac{z^{2}}{x + 2} \geq 1$ (đpcm ).