Lời giải Câu 2 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán năm 2017 của trường THPT chuyên Nguyễn Trãi

Lời giải Câu 2 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán năm 2017 của trường THPT chuyên Nguyễn Trãi.

Lời giải  câu 2 :

Đề bài :

a.  Giải phương trình :  $x^2+6=4\sqrt{x^3-2x^2+3}$

b.   Giải hệ phương trình :   

    $\{\begin{array}{cc}(x+\sqrt{x^2+2x+2}+1)(y+\sqrt{y^2+1})=1& \\ x^2-3xy-y^2=3& \end{array}$

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.   $x^2+6=4\sqrt{x^3-2x^2+3}$  (1)

Đk :  $x\ge -1$

Từ (1)  <=>  $(x^2-3x+3)+3(x+1)$

           <=>   $4\sqrt{(x+1)(x^2-3x+3)}$         (2)

Vì  $x^2-3x+3>0$  , (2) <=> $1+\frac{3(x+1)}{x^2-3x+3}=4\sqrt{\frac{x+1}{x^2-3x+3}}$              (*)

Đặt  $t=\sqrt{\frac{x+1}{x^2-3x+3}}$     ( $t\ge 0$ )

(*) <=>  $1+3t^2=4t$

    <=>  $3t^2-4t+1=0$

    <=>  Hoặc t = 1 hoặc  $t=\frac{1}{3}$  (thỏa mãn )

+  Với t = 1 <=>  $\sqrt{\frac{x+1}{x^2-3x+3}}=1$  

<=>  $x^2-4x+2=0<=>x=2\pm \sqrt{2}$

+  Với $t=\frac{1}{3}$  <=> $\sqrt{\frac{x+1}{x^2-3x+3}}=\frac{1}{3}$

<=>  $x^2-12x-6=0<=>x=6\pm \sqrt{42}$

Vậy phương trình có nghiệm : $x=2\pm \sqrt{2}$ ; $x=6\pm \sqrt{42}$ .

b.    $\{\begin{array}{cc}(x+\sqrt{x^2+2x+2}+1)(y+\sqrt{y^2+1})=1(1)& \\ x^2-3xy-y^2=3(2)& \end{array}$

Từ (1) <=> $(x+\sqrt{x^2+2x+2}+1)(\sqrt{y^2+1)}+y)(\sqrt{y^2+1}-y)=(\sqrt{y^2+1}-y)$

Vì $\sqrt{y^2+1}-y\ne 0(\mathrm{\forall }y)$

<=>  $x+1+\sqrt{(x+1{)}^2+1}=-y+\sqrt{y^2+1}$

<=>  $x+y+1+\frac{(x+1{)}^2-y^2}{\sqrt{(x+1{)}^2+1}+\sqrt{y^2+1}}=0$

<=>  $(x+y+1)(1+\frac{x+1-y}{\sqrt{(x+1{)}^2+1}+\sqrt{y^2+1}})=0$

<=>  Hoặc x + y + 1 = 0    (*) hoặc $1+\frac{x+1-y}{\sqrt{(x+1{)}^2+1}+\sqrt{y^2+1}}=0$    (**)

Do $\sqrt{(x+1{)}^2+1}>\mid x+1\mid \ge x+1(\mathrm{\forall }x)$  

      $\sqrt{y^2+1}>\mid y\mid \ge -y(\mathrm{\forall }y)$

=>  (**) vô nghiệm .

Từ (*) <=> y = -x - 1 thay vào (2) ta được : x = 1 hoặc  $x=\frac{-4}{3}$

+  Với x = 1 =>  y = -2.

+  Với $x=\frac{-4}{3}$  =>  $y=\frac{1}{3}$ .

Vậy  hệ phương trình có nghiệm (x ; y ) = (1; -2 ) và (x; y )= ($\frac{-4}{3};\frac{1}{3}$).