Lời giải Câu 2 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT chuyên Lê Qúy Đôn

Lời giải Câu 2 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT chuyên Lê Qúy Đôn.

Lời giải  câu 2 :

Đề bài :

a.  Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( p;q) thỏa mãn $p^2-5q^2=4$ .

b.  Cho đa thức $f(x)=x^2+bx+c$  biết  b, c là các hệ số dương và f(x) có nghiệm .

Chứng minh  $f(2)\ge 9\sqrt[3]{c}$ .

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.  Ta có : $p^2-5q^2=4<=>p^2-4=5q^2$ .

     <=>      $(p-2)(p+2)=5q^2$

Do  0 < p - 2 < p + 2 và q là số nguyên tố => p - 2 chỉ nhận bộ giá trị $\left\{\begin{array}{c}1;5;q;q^2\end{array}\right\}$

Ta có bảng tính toán :

              

Theo bài ra : p và q là những số nguyên tố => (p; q) =( 7; 3 ) .  (thỏa mãn )

Vậy (p ; q) = ( 7; 3) .

b.  Để f(x) có nghiệm <=> $\mathrm{\Delta }\ge 0<=>b^2\ge 4c<=>b\ge 2\sqrt{c}$

=>  $f(2)=4+2b+c\ge 4+4\sqrt{c}+c=(\sqrt{c}+2{)}^2$

Ta lại có : $\sqrt{c}+2=\sqrt{c}+1+1\ge 3\sqrt[3]{\sqrt{c}}$

    <=>      $f(2)\ge (3\sqrt[3]{\sqrt{c}}{)}^2=9\sqrt[3]{c}$

=>  (đpcm).