Lời giải Câu 1 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán năm 2017 của trường THPT chuyên Nguyễn Trãi

Lời giải Câu 1 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán năm 2017 của trường THPT chuyên Nguyễn Trãi.

Đề bài :

a. Rút gọn biểu thức : $A = \sqrt{\frac{a + x^{2}}{x} - 2 \sqrt{a}} + \sqrt{\frac{a + x^{2}}{x} + 2 \sqrt{a}}$ với a > 0 ; x > 0 .

b. Tính giá trị biểu thức $P = (x - y)^{2} + 3 (x - y) (x y + 1)$

Biết $x = \sqrt[3]{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt[3]{3 - 2 \sqrt{2}}$

$y = \sqrt[3]{17 + 12 \sqrt{2}} - \sqrt[3]{17 - 12 \sqrt{2}}$

Hướng dẫn giải chi tiết :

a. $A = \sqrt{\frac{a + x^{2}}{x} - 2 \sqrt{a}} + \sqrt{\frac{a + x^{2}}{x} + 2 \sqrt{a}}$

<=> $A = \sqrt{\frac{(x - \sqrt{a})^{2}}{x}} + \sqrt{\frac{(x + \sqrt{a})^{2}}{x}}$

<=> $A = \frac{∣ x - \sqrt{a} ∣ + x + \sqrt{a}}{\sqrt{x}}$

+ Với $x \geq \sqrt{a}$ => $∣ x - \sqrt{a} ∣= x - \sqrt{a}$

=> $A = \frac{x - \sqrt{a} + x + \sqrt{a}}{\sqrt{x}} = \frac{2 x}{\sqrt{x}} = 2 \sqrt{x}$

+ Với $0 < x < \sqrt{a}$ => $∣ x - \sqrt{a} ∣= - (x - \sqrt{a})$

=> $A = \frac{\sqrt{a} - x + x + \sqrt{a}}{\sqrt{x}} = \frac{2 \sqrt{a}}{\sqrt{x}}$

b. Ta có :

+ $x^{3} = (\sqrt[3]{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt[3]{3 - 2 \sqrt{2}})^{3}$

<=> $x^{3} = 4 \sqrt{2} - 3 x$

<=> $x^{3} - 4 \sqrt{2} + 3 x = 0$

<=> $x^{3} + 3 x = 4 \sqrt{2}$ (1)

Tương tự : $y^{3} + 3 y = 24 \sqrt{2}$ (2)

Trừ theo vế (1) cho (2) ta được : $x^{3} - y^{3} + 3 (x - y) = - 20 \sqrt{2}$

<=> $(x - y)^{3} + 3 (x - y) (x y + 1) = - 20 \sqrt{2}$

Vậy $P = - 20 \sqrt{2}$ .