Lời giải Câu 1 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT chuyên Lê Qúy Đôn.
Lời giải câu 1 :
Đề bài :
a. Rút gọn biếu thức $A=(\sqrt{x-1}-1)^{2}+\sqrt{4x-3+4\sqrt{x-1}}$ với $x\geq 1$ .
b. Giải phương trình $x+\sqrt{x^{2}+3x+2}=x\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}$
c. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x+y=3+\sqrt{xy} & \\ x^{2}+y^{2}=18 & \end{matrix}\right.$
Hướng dẫn giải chi tiết :
a. $A=(\sqrt{x-1}-1)^{2}+\sqrt{4x-3+4\sqrt{x-1}}$ với $x\geq 1$ .
Ta có : $(\sqrt{x-1}-1)^{2}=x-2\sqrt{x-1}$
$\sqrt{4x-3+4\sqrt{x-1}}=(2\sqrt{x-1}+1)^{2}$
Với $x\geq 1$ <=> $2\sqrt{x-1}+1> 0$ => $\sqrt{4x-3+4\sqrt{x-1}}=2\sqrt{x-1}+1$
=> $A=(\sqrt{x-1}-1)^{2}+\sqrt{4x-3+4\sqrt{x-1}}=x-2\sqrt{x-1}+2\sqrt{x-1}+1=x+1$
Vậy A = x + 1 .
b. $x+\sqrt{x^{2}+3x+2}=x\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}$ (1)
Đk : $x\geq -1$
(1) <=> $x+\sqrt{x+1}.\sqrt{x+2}=x\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}$
<=> $(x-\sqrt{x+1}).(1-\sqrt{x+2})=0$
<=> Hoặc $x=\sqrt{x+1}$ (*) hoặc $1=\sqrt{x+2}$ (**)
Từ (**) <=> x = -1 ( thỏa mãn đk )
Từ (*) <=> $\left\{\begin{matrix}x\geq 0 & \\ x^{2}-x-1=0 & \end{matrix}\right.$
<=> $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ( thảo mãn đk )
Vậy phương trình trên có nghiệm x = -1 ; $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .
c. $\left\{\begin{matrix}x+y=3+\sqrt{xy} & \\ x^{2}+y^{2}=18 & \end{matrix}\right.$ (1)
Đk : $xy\geq 0$
Đặt $a= x+y; b=\sqrt{xy} (b\geq 0)$
(1) <=> $\left\{\begin{matrix}a=3+b & \\ a^{2}-2b^{2}=18 (*)& \end{matrix}\right.$
Thế a = 3 + b vào (*) ta được : $(3+b)^{2}-2b^{2}=18$
<=> $b^{2}-6b+9=0<=> b=3$
Khi b = 3 => a = b + 3 = 3 + 3 = 6 ( thỏa mãn đk )
=> (a ; b ) = ( 6; 3 )
=> Ta có hệ : $\left\{\begin{matrix}x+y=6 & \\ \sqrt{xy}=3 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}x+y=6 & \\ xy=9 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}x=3 & \\ y=3 & \end{matrix}\right.$ (thỏa mãn )
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 3 ; 3 ) .