Lời giải bài 6 chuyên đề Ứng dụng nghiệm phương trình bậc hai

Lời giải bài 6 chuyên đề Ứng dụng nghiệm phương trình bậc hai.

a. $\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\le \frac{1}{8}$ .

<=>  $8\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\le 1$ .

Xét   $T=8\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}$ .

<=>   $T=4\sin \frac{C}{2}(\cos \frac{A-B}{2}-\cos \frac{A+B}{2})$ .

<=>   $T=4\sin \frac{C}{2}(\cos \frac{A-B}{2}-\sin \frac{C}{2})$ .

=>     $4{\sin }^2\frac{C}{2}-4\cos \frac{A-B}{2}.\sin \frac{C}{2}+T=0$ .   (1)

Phương trình (1) có nghiệm <=>  $\mathrm{\Delta }{}^{\prime }\ge 0$

<=>  $4{\cos }^2\frac{A-B}{2}-4T\ge 0$

=>    $T\le {\cos }^2\frac{A-B}{2}\le 1$

=>    $\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\le \frac{1}{8}$ .  (đpcm)

 

b.  Đặt X =   $\cos A+\cos B+\cos C$

<=>  $X=2\cos \frac{A+B}{2}.\cos \frac{A-B}{2}+1-2{\sin }^2\frac{C}{2}$

=>    $2{\sin }^2\frac{C}{2}-2\cos \frac{A-B}{2}.\sin \frac{C}{2}+X-1=0$         (2)

Phương trình (2) có nghiệm <=>  $\mathrm{\Delta }{}^{\prime }\ge 0$

<=>  ${\cos }^2\frac{A-B}{2}-2(X-1)\ge 0$

<=>  $X\le 1+\frac{1}{2}{\cos }^2\frac{A-B}{2}\le 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

=>    $\cos A+\cos B+\cos C\le \frac{3}{2}$ .    (đpcm)

 

c.  Đặt V = ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C$

<=>  $V=\frac{1-\cos 2A}{2}+\frac{1-\cos 2B}{2}+1-{\cos }^{2}C$

<=>  $V=2-\frac{1}{2}(\cos 2A+\cos 2B)-{\cos }^{2}C$

<=>  $V=2-\cos (A+B)\cos (A-B)-{\cos }^{2}C$

<=>  $V=2+\cos C.\cos (A+B)-{\cos }^{2}C$

=>    ${\cos }^{2}C-\cos (A-B)\cos C+V-2=0$                 (3)

Phương trình (3) có nghiệm <=>    $\mathrm{\Delta }\ge 0$

<=>   ${\cos }^2(A-B)-4(V-2)\ge 0$

<=>   $V\le 2+\frac{1}{4}{\cos }^2(A-B)$

<=>   $V\le 2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$ .

=>     ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C\le \frac{9}{4}$ .    (đpcm)

 - - - - - Hết ! - - - -