Lời giải Bài 5-Một số bài toán Hình học thường gặp trong đề tuyển sinh vào 10 năm 2017.

Lời giải chi tiết :

Đề ra :

Cho đường tròn ( O), đường kính BC  , A nằm trên cung BC . Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB = AD .Dựng hình vuông ABED , AE cắt (O ) tại điểm thứ hai F . Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G .

a.  Chứng minh : BGDC nội tiếp .Xác định tâm I của đường tròn này .

b.  Chứng minh : Tam giác BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD .

c.  Chứng minh : GEFB nội tiếp .

d.  Chứng minh : C, F , G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp BCD .

Hướng dẫn giải : 

 

a.

Ta có  :  CBG^=CDG^=90

=>  CBG^+CDG^=180

Và  : IG = IC .

=>  Tứ giác  BGDC nội tiếp .       ( đpcm )

b.

Ta có :

BCF^=FBA^    ( cùng chắn cung BF )

Mà :  FBA^=45=>BCF^=45

Và :  BFC^=90            ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=>   Tam giác BFC vuông cân .    ( đpcm )

Vì BFC vuông cân   =>  BC = FC .   (1)

Xét FEB  và FED  , ta có :

EF chung

BEF^=FED^=45

BE = ED    ( cạnh hình vuông ABED )

=>   FEB=FED   ( c-g-c )

=>  BF = FD                  (2)

Từ (1) , (2)  =>  BF = FC = FD .

c.

Vì Tam giác BFC vuông cân  ( c/m trên )   =>  cung BF = cung FC = 90

=>  sđ GBF^12 sđ cung BF = 12.90=45    

Mà  :  FED^=45 

=>  FED^=GBF^=45

Mặt khác , ta có : FED^+FEG^=180

=>  GBF^+FEG^=180

=>  Tứ giác GEFB nội tiếp .     ( đpcm )

d.

Do tứ giác GEFB nội tiếp   =>  BFG^=BEG^

Mà : BEG^=90=>BFG^=90

Mặt khác : BFG vuông cân tại F =>  BFC^=90

=>   BFG^+CFB^=180

=>  G , F , C thẳng hàng .    ( đpcm )

Vì  :   GBC^+GDC^=90

=>  F là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BGDC

=>  G nằm trên đường tròn ngoại tiếp BCD.    (  đpcm )