Lời giải Bài 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội.
Lời giải bài 5 :
Đề bài :
Cho $\triangle ABC$ .Chứng minh rằng :
a. $\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}$ .
b. $\cos A+\cos B+\cos C\leq \frac{3}{2}$ .
Hướng dẫn giải chi tiết :
a. $\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}$ .
<=> $8\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\leq 1$ .
Xét $P=8\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}$ .
<=> $P=4\sin \frac{C}{2}(\cos \frac{A-B}{2}-\cos \frac{A+B}{2})$ .
<=> $P=4\sin \frac{C}{2}(\cos \frac{A-B}{2}-\sin \frac{C}{2})$ .
=> $4\sin ^{2}\frac{C}{2}-4\cos \frac{A-B}{2}.\sin \frac{C}{2}+P=0$ . (1)
Phương trình (1) có nghiệm <=> $\Delta {}' \geq 0$
<=> $4\cos ^{2}\frac{A-B}{2}-4P\geq 0$
=> $P\leq \cos ^{2}\frac{A-B}{2}\leq 1$
=> $\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}$ . (đpcm)
b. Đặt Q= $\cos A+\cos B+\cos C$
<=> $Q=2\cos \frac{A+B}{2}.\cos \frac{A-B}{2}+1-2\sin ^{2}\frac{C}{2}$
=> $2\sin ^{2}\frac{C}{2}-2\cos \frac{A-B}{2}.\sin \frac{C}{2}+Q-1=0$ (2)
Phương trình (2) có nghiệm <=> $\Delta {}' \geq 0$
<=> $\cos ^{2}\frac{A-B}{2}-2(Q-1)\geq 0$
<=> $Q\leq 1+\frac{1}{2}\cos ^{2}\frac{A-B}{2}\leq 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
=> $\cos A+\cos B+\cos C\leq \frac{3}{2}$ . (đpcm)