Lời giải Bài 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của Trường chuyên Lam Sơn Thanh Hóa

Lời giải Bài 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của Trường chuyên Lam Sơn Thanh Hóa.

Đề bài :

Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = a^{2} + b^{2} + c^{2} - 6 (a + b + c) + 2017$ .

Hướng dẫn giải chi tiết :

Ta có : $P = a^{2} + b^{2} + c^{2} - 6 (a + b + c) + 2017$ .

= $(a + b + c)^{2} - 2 (a b + b c + c a) - 6 (a + b + c) + 2017$

= $(a + b + c)^{2} - 2.3 - 6 (a + b + c) + 2017$

= $(a + b + c)^{2} - 6 (a + b + c) + 2011$ (*)

Đặt t = a + b+ c , (*) <=> $t^{2} - 6 t + 2011 = 0$

<=> $t^{2} - 6 t + 9 + 2012 = 0$ <=> $(t - 3)^{2} + 2012 \geq 2002 (\forall t)$

Vậy Min(P) = 2002 <=> ${\begin{matrix} a + b + c = 3 \\ a b + b c + c a = 3 \end{matrix}$ <=> a = b = c = 1 .