Lời giải Bài 5 Đề thi thử lần 1 năm 2017 của trường THPT chuyên Amtesdam Hà Nội.
Lời giải bài 5:
Đề ra :
Cho $2\leq a_{1}\leq a_{2}\leq ...\leq a_{15}\leq 2016$ là 15 số tự nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng trong 15 số tự nhiên đó luôn tồn tại ít nhất một số nguyên tố.
Lời giải chi tiết :
Phản chứng : giả sử 15 số tự nhiên đó đều là hợp số.
Do $2016<2209=47^{2}$ nên mỗi số tự nhiên đó đều có một ước nguyên tố nhỏ hơn 47.
Gọi $p_{i}$ là ước nguyên tố của $a_{i}$ ( $p_{i}<47$ )
Do có tất cả 14 số nguyên tố nhỏ hơn 47 nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại $i\neq j$ mà $p_{i}=p_{j}$ .
=> $a_{i},a_{j}$ không nguyên tố cùng nhau => mâu thuẫn với giả thiết .
Vậy trong 15 số tự nhiên đó luôn tồn tại ít nhất một số nguyên tố.