Lời giải Bài 1 Đề thi thử trường THPT chuyên Amtesdam Hà Nội.
Lời giải bài 1:
Đề ra :
a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì $n ^{4}+ 2015n^{2}$ chia hết cho 12.
b. Giải hệ phương trình sau : $\left\{\begin{matrix}2x^{2}+3xy+y^{2}=12 & \\ x^{2}-xy+3y^{2}=11 & \end{matrix}\right.$
Lời giải chi tiết :
a. Ta có : $n ^{4}+ 2015n^{2}=n^{2}(n^{2}+2015)$
+ Nếu n chẵn thì n2 chia hết cho 4.
+ Nếu n lẻ thì n2 + 2015 chia hết cho 4.
=> n4 + 2015n2 chia hết cho 4.
Mặt khác , ta có :
+ Nếu n chia hết cho 3 thì n4 + 2015n2 chia hết cho 3 .
+ Nếu n chia 3 dư 1 hoặc dư 2 thì n4 + 2015n2 chia hết cho 3.
=> n4 + 2015n2 chia hết cho 3.
Mà : (4, 3) = 1 => n4 + 2015n2 chia hết cho 12. ( đpcm )
b. $\left\{\begin{matrix}2x^{2}+3xy+y^{2}=12 (1) & \\ x^{2}-xy+3y^{2}=11 (2) & \end{matrix}\right.$
Lấy (1) nhân với 11 , và (2) nhân với 12, ta được hệ mới :
<=> $\left\{\begin{matrix}22x^{2}+33xy+11y^{2}=121 (1') & \\ 12x^{2}-12xy+36y^{2}=121 (2') & \end{matrix}\right.$
Lấy (1') - (2') , ta được phương trình : $10x^{2}+45xy-25y^{2}=0$
<=> $(2x-y)(x+5y)=0$
<=> Hoặc $x=\frac{y}{2}$ hoặc x = -5y .
+ Với $x=\frac{y}{2}$ , thay vào hệ trên ta được : $\left\{\begin{matrix}x=\pm 1 & \\ y=\pm 2 & \end{matrix}\right.$
+ Với x = - 5y , thay vào hệ trên ta được : $\left\{\begin{matrix}x=\pm \frac{5\sqrt{3}}{3}& \\ y= \frac{\sqrt{3}}{3}& \end{matrix}\right.$
Vậy hệ phương trình có các cặp nghiệm ( x ; y ) = { ( $\left\{\begin{matrix}x=\pm 1 & \\ y=\pm 2 & \end{matrix}\right.$ ) , ( $\left\{\begin{matrix}x=\pm \frac{5\sqrt{3}}{3}& \\ y= \frac{\sqrt{3}}{3}& \end{matrix}\right.$ ) }