Lời giải Bài 4 Đề thi thử trường THPT chuyên Đà Nẵng.

Lời giải bài 4:

Đề ra : 

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.

a.   Chứng minh :  tanB.tanC=ADHD

b.  Chứng minh :  DH.DABC24

c.  Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.   Chứng minh rằng :    sinA2a2bc

Lời giải chi tiết :

a.  

Ta có :  {tanB=ADBDtanC=ADDC

=>  tanB.tanC=AD2BD.DC    (1)

Xét 2 tam giác vuông ADC và BDH có :   DAC^=DBH^  ( cùng phụ góc C )

=>  ADCBDH

=>  ADDC=BDDH=>AD.DH=DB.DC

=>  AD2DB.DC=ADHD    (2)

Từ (1), (2)  =>  tanB.tanC=ADHD     ( đpcm )

b.

Theo câu (a) , ta có : DH.DA=DB.DC(DB+DC)24=BC24   

Vậy DH.DABC24     ( đpcm )

c.

Gọi Ax là tia phân giác góc A, kẻ BM; CN lần lượt vuông góc với Ax  .

Ta có : sinMAB^=sinA2=BMAB

=>  BM=c.sinA2     (1)

Tương tự : CN=b.sinA2    (2)

Lấy (1) + (2)  =>  BM+CNBF+FC=BC=a

=>  (b+c)sinA2a=>sinA2ab+ca2bc

Vậy   sinA2a2bc .     ( đpcm )