Lời giải Bài 5 Đề thi thử trường THPT chuyên Đà Nẵng.
Lời giải bài 5:
Đề ra :
Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng : $2a^{3}+2b^{3}+2c^{3}\leq 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$
Lời giải chi tiết :
Theo giả thiết : $0 < a, b, c < 1 => a^{2}<1;b<1$
=> $(1-a^{2})(1-b)>0<=> 1+a^{2}b-a^{2}-b>0$
<=> $ 1+a^{2}b>a^{2}+b$ (1)
Mặt khác : $0 < a, b, c < 1 => a^{2}>a^{3};b>b^{3}$
=> $b+a^{2}>a^{3}+b^{3}$ (2)
Từ (1) , (2) => $a^{3}+b^{3}<1+a^{2}b$
Tương tự : $b^{3}+c^{3}<1+b^{2}c$
$c^{3}+a^{3}<1+c^{2}a$
=> $2a^{3}+2b^{3}+2c^{3}\leq 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$ ( đpcm )