Lời giải Bài 4 Đề thi thử trường THPT chuyên Amtesdam Hà Nội.

Lời giải bài 4:

Đề ra : 

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, hai tiếp tuyến Ax, By của (O) cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB. Tiếp tuyến tại M tùy ý của (O) cắt Ax, By lần lượt tại C, D ( MA,B ) .

a) Chứng minh tứ giác ACMO .

b) Chứng minh OC vuông góc OD và AC.BD=R2 .

c) Gọi N là giao điểm của AD và BC, MN cắt AB tại H. Chứng minh MN // AC và N là trung điểm của MH.

Lời giải chi tiết :

a.   Vì :  {OAACOMMC

=>   {OAC^=90OMC^=90

=>  OAC^+OMC^=180

=> Tứ giác OACM nội tiếp  ( đpcm ) .

=> Tương tự : Tứ giác BDMO  nội tiếp .

b.   

  • CA, CM là tiếp tuyến của (O) =>  OC là phân giác AOM^ .
  • DB, DM là tiếp tuyến của (O)  =>  OD là phân giác BOM^ .

AOM^,BOM^  là 2 góc kề bù =>  OCOD .

Xét tam giác vuông OCD , ta có :

  • OM là đường cao =>  MC.MD=OM2=R2 .
  • Do MC = AC, MD = BD   ( 2 tiếp tuyến xuất phát từ 1 điểm )  =>  AC.BD=R2

=>  ( đpcm ) .

c.   Ta có : AC // BD  =>  NDNA=DBCA

Mà :  CA = CM, DB = DM  => NDNA=DMCM

=>  MN // AC .

=>  MH // AC // BD

=>  MNAC=DMDC=BNBC=NHAC

=>  MN=NH  hay N là trung điểm của MH  .  ( đpcm )