Lời giải Bài 4 Đề thi thử trường THPT chuyên Amtesdam Hà Nội.
Lời giải bài 4:
Đề ra :
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp tuyến chung CD ( C, D là tiếp điểm, $C\in (O);D\in (O')$ ). Đường thẳng qua A song song với CD cắt (O) tại E, (O’) tại F. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của BD và BC với EF. Gọi I là giao điểm của EC với FD. Chứng minh rằng:
a. Chứng minh rằng tứ giác BCID nội tiếp.
b. CD là trung trực của đoạn thẳng AI.
c. IA là phân giác góc MIN.
Lời giải chi tiết :
a.
TH1: Điểm A và đoạn thẳng CD nằm về cùng một phía với đường OO’.
Ta có :
- $\widehat{ABC}=\widehat{AEC}=\widehat{ICD}$
- $\widehat{BDC}=\widehat{AED}=\widehat{IDC}$
=> $\widehat{DBA}+\widehat{DIC}=\widehat{ABC}+\widehat{DBC}+\widehat{DIC}=\widehat{ICD}+\widehat{IDC}+\widehat{DIC}=180^{\circ}$
=> Tứ giác BCID nội tiếp.
TH 2 : Điểm A và đoạn thẳng CD nằm khác phía nhau so với OO’.
Vì tứ giác ABCE nội tiếp (O) nên $\widehat{BCE}+\widehat{BAE}=180^{\circ}$
=> $\widehat{BCE}+\widehat{BAF}$
Tương tự : $\widehat{BDI}+\widehat{BAF}$
=> $\widehat{BDI}+\widehat{BCE}$
=> $\widehat{BDI}+\widehat{BCI}=\widehat{BCE}+\widehat{BCI}=180^{\circ}$
=> Tứ giác BCID nội tiếp.
b. Ta có : $\widehat{ICD}=\widehat{CEA}=\widehat{DCA}$
=> $\widehat{ICD}=\widehat{DCA}$
Tương tự : $\widehat{IDC}=\widehat{CDA}$
=> $\triangle ICD =\triangle ACD $
=> CA = CI và DA = DI .
=> CD là trung trực của AI . ( đpcm )
c. Ta có : $CD\perp AI=>AI\perp MN$ (1)
Gọi $K=AB\cap CD$
=> $CK^{2}=KA.KB=KD^{2}$
=> KC = KD . (*)
Vì CD // MN => $\frac{KC}{AN}=\frac{KD}{AM}=\frac{KB}{AB}$
Từ (*) => AN = AM . (2)
Từ (1) ,(2) => $\triangle IMN$ cân tại I .
=> IA là phân giác góc MIN. ( đpcm )