Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 4 năm 2017 của trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội.

Lời giải  bài 4 :

Đề bài :

Cho đường tròn O đường kính BC và một điểm A nằm bất kì trên đường tròn ( A khác B và C ). Gọi AH là đường cao của DABC, đường tròn tâm I đường kính AH cắt các dây cung AB, AC tương ứng tại D, E.

a. Chứng minh rằng : góc DHE^=90  và AB. AD = AC . AE .

b. Các tiếp tuyến của đường tròn (I) tại D và E cắt BC tương ứng tại G và F. Tính số đo góc GIF .

c. Xác định vị trí điểm A trên đường tròn (O) để tứ giác DEFG có diện tích lớn nhất  .

Hướng dẫn giải chi tiết :

 

a.  Tứ giác ADHE có : A^=D^=E^

=>  ADHE là hình chữ nhật .

=>  DHE^=90      ( đpcm ) .

Xét  hai tam giác vuông HAB và HAC ta có : AB.AD=AH2   ( hệ thức lượng trong tam giác vuông )

Mà  :  AH2=AC.AE

=>  AB. AD = AC . AE .    ( đpcm )

b.  Vì DHE^=90  => DE là đường kính =>  IDE .

=>   GIF^=12DIH^+12HIE^=12DIE^

Mà  :  DIE^=180   ( nhìn hình vẽ ) .

=>  GIF^=90 .

Vậy  GIF^=90 .

c.  Tứ giác DEFG là hình thang vuông có đường cao DE = AH

Hai đáy DG = GH = GB = 12BH  và EF = FC = FH = 12HC 

=>  Diện tích hình tứ giác DEFG là : SDEFG=12(HB+HC).AH2=BC.AH4

Để SDEFG đạt giá trị lớn nhất khi AH lớn nhất   ( Vì BC = 2R - không đổi ) .

Khi đó  AH sẽ phải là đường kính => A là trung điểm của cung AB .

Vậy A là trung điểm của cung AB trên đường tròn (O) thì  tứ giác DEFG có diện tích lớn nhất  .