Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 4 năm 2017 của Trường chuyên Lam Sơn Thanh Hóa.

Lời giải  bài 4 :

Đề bài :

Cho tứ giác ANPQ nội tiếp (O) đường kính AQ .Hai đường chéo AP và NQ cắt nhau tại E . Gọi F là điểm thuộc AQ sao cho EF vuông góc  với AQ .Đường thẳng PF cắt (O) tại điểm thứ hai là K .NQ và PF cắt nhau tại L .Chứng minh rằng :

a.  Tứ giác PEFQ nội tiếp .

b.  FM là tia phân giác của góc NFM.

c.  NE.QL = QN.EL  .

Hướng dẫn giải chi tiết :

 

a.    Ta có :  

MPQ^=90       ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

EFMQ=>EPQ^+EFQ^=90+90=180

=>  Tứ giác PEFQ nội tiếp        ( đpcm ) .

b.  Ta có :  ENM^+EFM^=90+90=180

=>  Tứ giác MNEF nội tiếp .

=>  PFQ^=PEQ^         ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung PQ trong đường tròn đường kính EQ )

       NFM^=NEM^        ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung MN trong đường tròn đường kính ME )

       NEM^=PEQ^         ( 2 góc đối dỉnh )

       PFQ^=MFK^          ( 2 góc đối đỉnh ) 

=>  NFM^=KFM^   hay PM là tia phân giác của góc NFM .

Vậy PM là tia phân giác của góc NFM .    ( đpcm )

c.   Ta có : 

NPM^=NQM^       ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung MN trong đường tròn đường kính MQ )

EPF^=EQF^          ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung EF trong đường tròn đường kính EQ )

=>  NPE^=EPL^

=>  PE là phân giác trong của NPL .                                          (1)

Mà : PEPQ =>  PE là phân giác ngoài của NPL .       (2)

Từ (1) , (2)   =>  ENEL=QNQL=>EN.QL=QN.EL   ( đpcm ) .