Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh.

Lời giải  bài 4:

Đề bài :

Cho đường tròn (O) và một điểm P ở ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với đường tròn (O) (A ,B là hai tiếp điểm). PO cắt đường tròn tại hai điểm K và I ( K nằm giữa P và O) và cắt AB tại H. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, C là giao điểm của PD và đường tròn (O).

a.  Chứng minh tứ giác BHCP nội tiếp.

b.  Chứng minh  ACCH .

c.  Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH cắt IC tại M. Tia AM cắt IB tại Q. Chứng minh M là trung điểm của AQ. 

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.  Xét  ABP , ta có:

  • PA = PB.
  • APO^=OPB^   ( tính giất hai tiếp tuyến cắt nhau ) .

=>   ABP  cân tại P và  PO là phân giác .

=> PO cũng là đường cao, trung tuyến của  ABP .

Xét tứ giácBHCP , ta có :  

  • BHP^=90    ( vì  POAB ) .
  • BCP^=90   ( vì kề bù  BCD^=90  ( nội tiếp nửa đường tròn (O) ) .

=> Tứ giác BHCP nội tiếp ( Qũy tích cung chứa góc )  .

b.   Xét ACH , ta có :

  • HAC^=B1^           ( chắn cung BKC^ của đường tròn (O))
  • H^=B1^                (  do BHCP nội tiếp )

=>  HAC^=H1^   

Mà  :  AHC^+H1^=90   ( vì POAB

=>  AHC^+HAC^=90   

=>  ACH vuông tại C  <=>   ACCH .   ( đpcm )

c.  Xét tứ giác ACHM ,  ta có : M nằm trên đường tròn ngoại tiếp ACH )

=> Tứ giác ACHM nội tiếp .

=>   CMH^=HAC^     (chắn cung HC )

Mà  HAC^=BIC^     (chắn cung BC của đường tròn (O))

=>    CMH^=BIC^   

=> MH // BI    ( vì cặp góc đồng vị bằng nhau ) .

Xét  ABQ , ta có :

AH = BH            ( do PH là trung tuyến APB  )

MH // BI             ( c/m trên )

=> MH là đường trung bình  ABQ .

=> M là trung điểm của AQ .   ( đpcm )