Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh.
Lời giải bài 4:
Đề bài :
Cho đường tròn (O) và một điểm P ở ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với đường tròn (O) (A ,B là hai tiếp điểm). PO cắt đường tròn tại hai điểm K và I ( K nằm giữa P và O) và cắt AB tại H. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, C là giao điểm của PD và đường tròn (O).
a. Chứng minh tứ giác BHCP nội tiếp.
b. Chứng minh $AC\perp CH$ .
c. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH cắt IC tại M. Tia AM cắt IB tại Q. Chứng minh M là trung điểm của AQ.
Hướng dẫn giải chi tiết :
a. Xét $\triangle ABP$ , ta có:
- PA = PB.
- $\widehat{APO}=\widehat{OPB}$ ( tính giất hai tiếp tuyến cắt nhau ) .
=> $\triangle ABP$ cân tại P và PO là phân giác .
=> PO cũng là đường cao, trung tuyến của $\triangle ABP$ .
Xét tứ giácBHCP , ta có :
- $\widehat{BHP}=90^{\circ}$ ( vì $PO\perp AB$ ) .
- $\widehat{BCP}=90^{\circ}$ ( vì kề bù $\widehat{BCD}=90^{\circ}$ ( nội tiếp nửa đường tròn (O) ) .
=> Tứ giác BHCP nội tiếp ( Qũy tích cung chứa góc ) .
b. Xét $\triangle ACH$ , ta có :
- $\widehat{HAC}=\widehat{B_{1}}$ ( chắn cung $\widehat{BKC}$ của đường tròn (O))
- $\widehat{H}=\widehat{B_{1}}$ ( do BHCP nội tiếp )
=> $\widehat{HAC}=\widehat{H_{1}}$
Mà : $\widehat{AHC}+\widehat{H_{1}}=90^{\circ}$ ( vì $PO\perp AB$ )
=> $\widehat{AHC}+\widehat{HAC}=90^{\circ}$
=> $\triangle ACH$ vuông tại C <=> $AC\perp CH$ . ( đpcm )
c. Xét tứ giác ACHM , ta có : M nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\triangle ACH$ )
=> Tứ giác ACHM nội tiếp .
=> $\widehat{CMH}=\widehat{HAC}$ (chắn cung HC )
Mà $\widehat{HAC}=\widehat{BIC}$ (chắn cung BC của đường tròn (O))
=> $\widehat{CMH}=\widehat{BIC}$
=> MH // BI ( vì cặp góc đồng vị bằng nhau ) .
Xét $\triangle ABQ$ , ta có :
AH = BH ( do PH là trung tuyến $\triangle APB$ )
MH // BI ( c/m trên )
=> MH là đường trung bình $\triangle ABQ$ .
=> M là trung điểm của AQ . ( đpcm )