Lời giải Bài 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh

Lời giải Bài 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh.

Đề bài :

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y = \frac{2}{1 - x} + \frac{1}{x}$ với 0< x<1 .

Hướng dẫn giải chi tiết :

Ta có : $y = \frac{2}{1 - x} + \frac{1}{x}$

= $y = \frac{2}{1 - x} - 2 + \frac{1}{x} - 1 + 3$

= $y = \frac{2}{1 - x} + \frac{x - 1}{x} + 3$

Vì 0< x<1 => $\frac{2}{1 - x} > 0; \frac{x - 1}{x} > 0$

Áp dụng BĐT Cô-si , ta có : $\frac{2}{1 - x} + \frac{x - 1}{x} \geq 2 \sqrt{\frac{2}{1 - x} . \frac{x - 1}{x}} = 2 \sqrt{2}$

Dấu " = " xảy ra <=> $\frac{2}{1 - x} = \frac{x - 1}{x}$

<=> $x^{2} + 2 x - 1 = 0 <=> x_{1} = - 1 + \sqrt{2}; x_{2} = - 1 - \sqrt{2}$

+ Với $x_{1} = - 1 + \sqrt{2}$ => ( t/mãn vì 0< x<1 ) .

+ Với $x_{2} = - 1 - \sqrt{2}$ => ( loại vì x < 0 ) .

=> $y \geq 2 \sqrt{2} + 3$

Dấu " = " xảy ra <=> $x_{1} = - 1 + \sqrt{2}$

Vậy $y_{m i n} = 2 \sqrt{2} + 3$ khi $x_{1} = - 1 + \sqrt{2}$ .