Lời giải Bài 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh.
Lời giải bài 5 :
Đề bài :
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}$ với 0< x<1 .
Hướng dẫn giải chi tiết :
Ta có : $y=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}$
= $y=\frac{2}{1-x}-2+\frac{1}{x}-1+3$
= $y=\frac{2}{1-x}+\frac{x-1}{x}+3$
Vì 0< x<1 => $\frac{2}{1-x}>0;\frac{x-1}{x}>0$
Áp dụng BĐT Cô-si , ta có : $\frac{2}{1-x}+\frac{x-1}{x} \geq 2\sqrt{\frac{2}{1-x}.\frac{x-1}{x}}=2\sqrt{2}$
Dấu " = " xảy ra <=> $\frac{2}{1-x}=\frac{x-1}{x} $
<=> $x^{2}+2x-1=0<=> x_{1}=-1+\sqrt{2};x_{2}=-1-\sqrt{2}$
+ Với $ x_{1}=-1+\sqrt{2}$ => ( t/mãn vì 0< x<1 ) .
+ Với $ x_{2}=-1-\sqrt{2}$ => ( loại vì x < 0 ) .
=> $y\geq 2\sqrt{2}+3$
Dấu " = " xảy ra <=> $ x_{1}=-1+\sqrt{2}$
Vậy $y_{min}=2\sqrt{2}+3$ khi $ x_{1}=-1+\sqrt{2}$ .