Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT Lương Thế Vinh.

Lời giải  bài 4 :

Đề bài :

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AM=2R. Gọi H là trực tâm tam giác .

a) Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành.

b) Gọi N là điểm đối xứng của M qua AB. Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp được trong một đường tròn.

c) Gọi E là điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh ba điểm N,H,E thẳng hàng.

d) Giả sử AB =R3 . Tính diện tích phần chung của đưòng tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN.

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.  

                                       

Ta có :  ABM^=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

=>   BM ⊥ AB  

Vì H là trực tâm tam giác ABC =>  CH   ⊥  AB => BM // CH (1)

Tương tự : BH // CM   (2)

Từ (1) , (2) =>  Tứ giác BHCM là hình bình hành.

b.  Ta có :

                                                  

 

  •       ANB^=AMB^   (do M và N đối xứng nhau qua AB) .
  •       AMB^=ACB^    (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB của đường tròn (O)) .
  •       H là trực tâm tâm giác ABC nên AH ⊥ BC, BK ⊥ AC nên ACB^=AHK^  (K = BH ∩ AC) .

 

=>  ANB^=AHK^ .

Vậy tứ giác AHBN nội tiếp được trong một đường tròn.

c.  Vì Tứ giác AHBN nội tiếp (câu b)  =>  ABN^=AHK^

ABN^=90  (do kề bù với ABM^=90 , góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))  .

=>  AHN^=90 .

Tương tự : Tứ giác AHCE nội tiếp  =>  AHE^=ACE^=90 .

=>  AHE^+AHN^=180

=>  N, H, E thẳng hàng.  (đpcm)

d.  Gọi  diện tích phần chung của đưòng tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN là S  (đvdt )

                                                 

Do ABN^=90

=>   AN là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN.

Vì  AM = AN (tính chất đối xứng) nên đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN  bằng nhau .

=>  SAmB=SAnB

Ta có : 

 +   AB =R3  => AmB^=120

=>  SAOB=ΠR2.120360=ΠR23

 +   AmB^=120  =>  BM^=60  => BM = R .

 +   O là trung điểm AM  => SAOB=12SABM=12.12.AB.BM=14R3.R=R234

=>  SAmB=SAOBSAOB=ΠR23R234=R212.(4Π33)

Mà  diện tích phần chung của đưòng tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN = 2 SAmB

=>  S=2.R212.(4Π33)

<=>  S=R26.(4Π33)   (đvdt)

Vậy diện tích phần chung của đưòng tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN là S=R26.(4Π33)   (đvdt) .