Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của Trường THPT chuyên Thái Bình.
Lời giải bài 4 :
Đề ra :
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA; qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn đó tại hai điểm phân biệt M và N. Trên cung nhỏ BM lấy điểm K ( K khác B và M), trên tia KN lấy điểm I sao cho KI = KM. Gọi H là giao điểm của AK và MN. Chứng minh rằng:
a. Tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp.
b. AK.AH = R2 .
c. NI = BK .
Lời giải chi tiết:
a. Ta có : $\widehat{AMB}=90^{\circ}$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) .
$MN\perp AB=> \widehat{AMB}+\widehat{BCH}=90^{\circ}$
=> Tứ giác BCHK nội tiếp .
b. Ta có : $\triangle ACH \sim \triangle AKB$ ( g-g )
=> $\frac{AH}{AB}=\frac{AC}{AK}=> AH.AK=AC.AB$
Mà : AB = 2R => $AO=\frac{AB}{2}=R$ (1)
C là trung điểm của AO => $OC=AC=\frac{AO}{2}=\frac{R}{2}$ (2)
=> $AH.AK=\frac{R}{2}.2R=R^{2}$ ( đpcm ) .
c. Ta có: $\triangle OAM$ đều (cân tại M và O) .
=> $\widehat{MAB}=\widehat{NAB}=\widehat{MBN}=60^{\circ}$
=> $\triangle MBN, \triangle KMI $ là những tam giác đều .
Xét $\triangle KMB $ và $\triangle IMN $ có:
- MK = MI ( cạnh tam giác đều KMI ) .
- $\widehat{KMB}=\widehat{IMN}$ ( cùng cộng với góc BMI bằng 600 )
- MB = MN ( cạnh tam giác đều BMN )
=> $\triangle KMB = \triangle IMN $ ( c-g-c ) .
=> NI = BK . ( đpcm )