Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của Trường THPT chuyên Thái Bình.

Lời giải bài 4 :

Đề ra :

Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA; qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn đó tại hai điểm phân biệt M và N. Trên cung nhỏ BM lấy điểm K ( K khác B và M), trên tia KN lấy điểm I sao cho KI = KM. Gọi H là giao điểm của AK và MN. Chứng minh rằng:

a.  Tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp.

b.   AK.AH = R2 .

c.   NI = BK .

Lời giải chi tiết:

a.  Ta có :   AMB^=90       ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) . 

                   MNAB=>AMB^+BCH^=90

=>  Tứ giác BCHK nội tiếp .

b.  Ta có : ACHAKB  ( g-g )

=>   AHAB=ACAK=>AH.AK=AC.AB

Mà : AB = 2R => AO=AB2=R                                                                  (1)

        C là trung điểm của AO => OC=AC=AO2=R2                  (2)

=>   AH.AK=R2.2R=R2       ( đpcm ) .

c.  Ta có:  OAM đều (cân tại M và O) .

=>  MAB^=NAB^=MBN^=60

=>  MBN,KMI là những tam giác đều .

Xét KMB và IMN có:

  • MK = MI                                                               ( cạnh tam giác đều KMI ) .
  • KMB^=IMN^                     ( cùng cộng với góc BMI bằng 60)
  • MB = MN                                                             ( cạnh tam giác đều BMN )

=>  KMB=IMN   ( c-g-c ) .

=>  NI = BK .              ( đpcm )