Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của Trường chuyên Lam Sơn Thanh Hóa.
Lời giải bài 4 :
Đề bài :
Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA , MB đến đường tròn ( A, B là hai tiếp điểm ).Qua A vẽ đường thẳng song song MB cắt đường tròn tại C . Đoạn thẳng MC cắt đường tròn tại D .Hai đường thẳng AD và MB cắt nhau tại E .Chứng minh rằng :
a. Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn .
b. $ME^{2}=ED.EA$
c. E là trung điểm của đoạn MB .
Hướng dẫn giải chi tiết :
Xét tứ giác MAOB , ta có :
$\widehat{MAO}=90^{\circ}$ ( tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm )
$\widehat{MBO}=90^{\circ}$ ( tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm )
=> $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$
Vậy tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp đường tròn. (đpcm)
b. Xét $\triangle MED$ và $\triangle AEM$ có:
$\widehat{DME}=\widehat{ACM}$ ( so le trong )
$\widehat{MAE}=\widehat{ACM}$ ( cùng chắn cung AD )
=> $\widehat{DME}=\widehat{MAE}$ (1)
Mà $\widehat{E}$ chung . (2)
Từ (1) , (2) => $\triangle MED\sim \triangle AEM$
<=> $\frac{ME}{AE}=\frac{ED}{EM}$
=> $ME^{2}=ED.EA$ (đpcm). (*)
c. Xét $\triangle BED$ và $\triangle AEB$ , có :
$\widehat{EBD}=\widehat{BAD}$ ( cùng chắn cung BD )
$\widehat{E}$ chung .
=> $\triangle BED\sim \triangle AEB$
<=> $\frac{EB}{EA}=\frac{ED}{EB}$
=> $EB^{2}=ED.EA$ (**)
Từ (*), (**) => EM = EB hay E là trung điểm của đoạn MB .