Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh.
Lời giải bài 4 :
Đề bài :
Cho đường tròn (O) và dây BC cố định không qua tâm, điểm A chuyển động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt (O) lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp và MN // FE.
b) Vẽ đường cao AD của tam giác ABC. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tếp tam giác DEF.
c) Đường thẳng qua A và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn giải chi tiết :
a. Ta có : $\widehat{B_{1}}=\widehat{EFH}$ ( do 2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC )
Xét đường tròn (O) có : $\widehat{B_{1}}=\widehat{N_{1}}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
=> $\widehat{EFH}=\widehat{N_{1}}$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MN // EF (đpcm) .
Vậy tứ giác BCEF nội tiếp và MN // EF .
b. Vì tứ giác BCEF nội tiếp => $\widehat{HBF}=\widehat{HCE}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EF) (1)
Xét tứ giác BDHF có : $\widehat{BDH}+\widehat{BFH}=180^{\circ}$
=> Tứ giác BDHF nội tiếp ( tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180$^{\circ} ) .
=> $\widehat{HBF}=\widehat{HDF}$ ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung FH ) (2)
Chứng minh tương tự : tứ giác DCEH nội tiếp .
=> $\widehat{HDE}=\widehat{HCE}$ ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung EH ) (3)
Từ (1) , (2) và (3) => $\widehat{HDF}=\widehat{HDE}$ => DH là phân giác của $\widehat{FDE}$ (*)
Tương tự : EH là phân giác của $\widehat{DEF}$ .
FH là phân giác của $\widehat{DFE}$ . (**)
Từ (*) và (**) => H là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle DEF$ (đpcm) .
c. Qua A kẻ đường kính AK , kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) .
=> $AO\perp Ax$ .
Ta có : $\widehat{xAB}=\widehat{ACB}$ ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB ) (4)
Vì tứ giác BCEF nội tiếp => $\widehat{AEF}=\widehat{ACB}$ ( cùng bù $\widehat{BFE}$ ) (5)
Từ (4) và (5) => $\widehat{xAB}=\widehat{AFE}$ .
Mà hai góc này ở vị trí so le trong của hai đường thẳng Ax và EF cắt AB => Ax //EF .
Mặt khác , ta có : $Ax\perp OA=> OA\perp EF$ , và ( O ) cố định ( theo gt ) .
Vậy đường thẳng qua A và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định là điểm O (đpcm) .