Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh.
Lời giải bài 4 :
Đề bài :
Cho đường tròn (O) và dây BC cố định không qua tâm, điểm A chuyển động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt (O) lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp và MN // FE.
b) Vẽ đường cao AD của tam giác ABC. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tếp tam giác DEF.
c) Đường thẳng qua A và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn giải chi tiết :
a. Ta có :
Xét đường tròn (O) có :
=>
Vậy tứ giác BCEF nội tiếp và MN // EF .
b. Vì tứ giác BCEF nội tiếp =>
Xét tứ giác BDHF có :
=> Tứ giác BDHF nội tiếp ( tứ giác có tổng hai góc đối bằng
=>
Chứng minh tương tự : tứ giác DCEH nội tiếp .
=>
Từ (1) , (2) và (3) =>
Tương tự : EH là phân giác của
FH là phân giác của
Từ (*) và (**) => H là tâm đường tròn nội tiếp
c. Qua A kẻ đường kính AK , kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) .
=>
Ta có :
Vì tứ giác BCEF nội tiếp =>
Từ (4) và (5) =>
Mà hai góc này ở vị trí so le trong của hai đường thẳng Ax và EF cắt AB => Ax //EF .
Mặt khác , ta có :
Vậy đường thẳng qua A và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định là điểm O (đpcm) .