Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của trường THPT chuyên TP HCM

Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của trường THPT chuyên TP HCM.

Lời giải  bài 1 :

Đề bài :

a.  Cho x , y là 2 số thực khác 0 . Chứng minh rằng : $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$    (1)

b.  Cho a , b là 2 số dương .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{a^2+3ab+b^2}{\sqrt{ab}(a+b)}$

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.  Từ (1) <=>  $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\ge 0$

<=>  $\frac{x^4+y^4-x^{3}y-x{y}^3}{x^2{y}^2}\ge 0$

<=>  $\frac{(x-y)(x^3-y^3)}{x^2{y}^2}\ge 0$

<=>  $\frac{(x-y{)}^2(x^2+xy+y^2)}{x^2{y}^2}\ge 0$

<=>  $\frac{(x-y{)}^2[(x+\frac{1}{2}y{)}^2+\frac{3}{4}{y}^2]}{x^2{y}^2}\ge 0$   ( luôn đúng  $\mathrm{\forall }x,y\ne 0$ )

Vậy  $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$  .

b.  Ta có :   $P=\frac{a^2+3ab+b^2}{\sqrt{ab}(a+b)}$ = $\frac{(a+b{)}^2+ab}{\sqrt{ab}(a+b)}$

<=>  $P=\frac{\frac{1}{4}(a+b{)}^2+ab+\frac{3}{4}(a+b{)}^2}{\sqrt{ab}(a+b)}$

<=>  $P=\frac{\frac{1}{4}(a+b{)}^2+ab}{\sqrt{ab}(a+b)}+\frac{\frac{3}{4}(a+b{)}^2}{\sqrt{ab}(a+b)}$   (*)

Ta thấy : (*) $\ge \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}(a+b{)}^2.ab}}{\sqrt{ab}(a+b)}+\frac{\frac{3}{4}.2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$

Dấu " = "  xảy ra <=>  $\{\begin{array}{cc}\frac{1}{4}(a+b{)}^2=ab& \\ a=b& \end{array}<=>a=b$

Vậy Min P = $\frac{5}{2}$  <=> a = b .