Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của trường THPT chuyên Amtesdam Hà Nội.
Lời giải bài 4:
Đề ra :
Cho đường tròn (O, R) , dây BC cố định và $\widehat{BOC}=120^{\circ}$ . Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho ∆ ABC nhọn. Hai đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M và E là điểm đối xứng với C qua N. Đường tròn $(O_{1};R_{1})$ ngoại tiếp ∆ ABD và đường tròn $(O_{2};R_{2})$ ngoại tiếp ∆ ACE cắt nhau tại điểm thứ hai K.
1. Chứng minh rằng tứ giác BHCK nội tiếp.
2. Chứng minh rằng $MN//O_{1}O_{2}$ và ba điểm E, B, K thẳng hàng.
Lời giải chi tiết :
1. Ta có : $\widehat{BOC}=120^{\circ}=> \widehat{BAC}=60^{\circ}$
=> $\widehat{ABM}= \widehat{ACN}=30^{\circ}$
=> $\widehat{BHC}=120^{\circ}$
Xét ( $O_{1}$ ) ta có :
- $\widehat{AKB}= \widehat{ADB}$
- $\widehat{ADB}= \widehat{ABD}$ ( ∆ ABD cân tại A )
=> $\widehat{ADB}=30^{\circ}$
=> $\widehat{AKB}=30^{\circ}$
Tương tự : $\widehat{AKC}=30^{\circ}$
=> $\widehat{AKB}+ \widehat{AKC}=\widehat{BKC}=60^{\circ}$
=> $\widehat{BKC}+ \widehat{BHC}=60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ}$
=> Tứ giác BHCK nội tiếp. ( đpcm )
2. Theo bài ra : $O_{1}O_{2}\perp AK$
Kẻ tiếp tuyến At của (O) tại A => $\widehat{AMN}= \widehat{ABC}$ ( cùng bù với $\widehat{MNC}$ )
Mà : $\widehat{ABC}= \widehat{tAC}$ => $\widehat{AMN}= \widehat{tAC}$
=> At // MN .
Mặt khác , ta có : $OA\perp At=> MN\perp OA$
Vì : $\widehat{AKB}= \widehat{AKC}=30^{\circ}$ => AK là phân giác $\widehat{BKC}$ . (1)
Ta có : $\widehat{BOC}+\widehat{AKC}=60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ}$
=> Tứ giác BOCK nội tiếp , OB = OC => $\widehat{OKB}= \widehat{OKC}$ .
=> KO là phân giác $\widehat{BKC}$ . (2)
Từ (1) , (2) => A , O , K thẳng hàng .
Mà : $MN\perp OA=> MN\perp AK$
$O_{1}O_{2}\perp AK$
=> $O_{1}O_{2}// MN$ . ( đpcm )
Ta có :
- $\widehat{EBC}= 2\widehat{ABC}=\widehat{AOC}$
- $\widehat{CBK}= \widehat{KOC}$
=> $\widehat{EBC}+ \widehat{CBK}=\widehat{AOC}+ \widehat{COK}=\widehat{AOK}=180^{\circ}$
=> E , B , K thẳng hàng ( đpcm ) .