Lời giải bài 4 chuyên đề Phương pháp đại số trong bài toán diện tích đa giác.
Đặt a = BC, b = AC, c = AB.
Gọi x, y, z lần lượt là độ dài các đường cao tương ứng với 3 cạnh a, b, c của tam giác.
Vì bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 => x, y, z > 2 .
Giả sử : $x \geq y \geq z \geq 2$
Theo kết quả bài 3( ở trên ): $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\leq \frac{3}{z}$
=> $z\leq 3=> z=3$ .
Từ : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1 => \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}$
<=> 3( x + y ) = 2xy .
=> (2x - 3 )(2y - 3 ) = 9 = 3.3 = 9.1
=> Hoặc x = 3 , y = 3 hoặc x = 6 , y = 2
Mà ta có $y\geq z(z=3)$
=> x = 6 , y= 2 (loại).
=> x = y = z = 3 <=> a = b = c.
Vậy tam giác đó là tam giác đều ( đpcm ).