Lời giải Bài 3 Đề thi thử trường THPT chuyên Amtesdam Hà Nội

Lời giải Bài 3 Đề thi thử trường THPT chuyên Amtesdam Hà Nội.

Lời giải bài 3:

Cho x , y là các số thực không âm.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $P = \frac{(x^{2} - y^{2}) (1 - x^{2} y^{2})}{(1 + x^{2})^{2} (1 + y^{2})^{2}}$

Ta có : $\frac{(a + b)^{2}}{4} \geq a b, \forall a, b$ (*)

Dấu " = " xảy ra <=> a = b .

Đặt $\frac{x^{2} + y^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} = a$

$\frac{1 - x^{2} y^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} = b$

Từ (1) => $P = a b \leq \frac{(a + b)^{2}}{4}$

=> $P \leq \frac{1}{4} {[\frac{x^{2} - y^{2} + 1 - x^{2} y^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}]}^{2}$

<=> $P \leq \frac{1}{4} {[\frac{(x^{2} + 1) (1 - y^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}]}^{2}$

<=> $P \leq \frac{1}{4} {(\frac{1 - y^{2}}{1 + y^{2}})}^{2}$

Mà : $0 \leq {(\frac{1 - y^{2}}{1 + y^{2}})}^{2} \leq 1, \forall y$

=> $P_{m a x} = \frac{1}{4}$

Vậy $P_{m a x} = \frac{1}{4}$ .

Dấu " = " xảy ra <=> ${\begin{matrix} a = b \\ (1 - y^{2})^{2} = (1 + y^{2})^{2} \end{matrix}$ <=> ${\begin{matrix} x = 1 \\ y = 0 \end{matrix}$ .